Un dilema divino

Como era de esperar, con el dilema de los tres prisioneros, planteado la semana pasada, se ha prolongado la polémica suscitada por el problema de Monty Hall, ya que el segundo se puede considerar una variante del primero (aunque contemplado desde otro ángulo). Al primer prisionero, Alberto, no le sirve de nada saber que Bernardo no será indultado: ya sabía que uno de sus dos compañeros no sería indultado, y averiguar de cuál de los dos se trata no le aporta nueva información sobre su propia situación; su probabilidad de ser indultado sigue siendo 1/3. Pero Carlos, el tercer prisionero, sí tiene motivos para alegrarse: como la probabilidad de que Bernardo o él sean indultados es 2/3, saber que Bernardo no será indultado convierte esos 2/3 en su probabilidad personal.

En cuanto al acertijo de las bolas blancas y negras, es la conocida paradoja de la caja de Bertrand, formulada por el matemático francés Joseph Bertrand a finales del siglo XIX (en la formulación inicial, en vez de bolas blancas y negras había monedas de oro y de plata). Puesto que la bola blanca extraída puede haber salido de la caja con dos bolas blancas o de la caja con una bola blanca y una negra, la probabilidad de que la otra bola también sea blanca parece ser 1/2; pero solo lo parece, pues la bola extraída podría ser la blanca que acompaña a la negra, una de las bolas de la caja con dos blancas o la otra bola de esa caja, por lo que la probabilidad de que la segunda bola también sea blanca es 2/3 (obsérvese la sutil semejanza con el problema de Monty Hall y con el dilema de los tres prisioneros).

Y la paradoja de las dos corbatas deja de serlo en cuanto nos damos cuenta de que la apuesta solo es equiprobable en apariencia. Lo que ocurre es que falta información, y además se trata de una información imprecisa, borrosa, lo que crea una falsa impresión de simetría. Supongamos que los dos amigos suelen gastar más o menos lo mismo en ropa y que el precio medio de sus corbatas es de 20 euros. Si ese día uno de ellos se ha puesto su mejor corbata, que le costó 40 euros, lleva las de perder, mientras que si ha elegido una de sus corbatas más baratas, que compró por 10 euros en una liquidación, le conviene claramente apostar. Y a la paradoja de los dos sobres se le puede aplicar un razonamiento similar.

Entre los cientos de comentarios suscitados por los acertijos de las dos últimas semanas, algunos aluden a la paradoja de Newcomb. Y no es casual, pues se relaciona con las anteriores de una forma poco evidente pero muy significativa (la semana próxima volveremos sobre ello). Imagina que un ser divino, con la facultad de predecir el futuro, te muestra dos cofres, uno abierto y otro cerrado, y te dice: “En el cofre abierto, como puedes ver, hay diez monedas de oro, y en el cerrado tal vez haya mil o tal vez esté vacío. Puedes coger ambos cofres o solamente el que está cerrado; pero yo he previsto lo que vas a hacer, y solo en el segundo caso habré puesto las mil monedas en el cofre cerrado”. ¿Cogerías un cofre o los dos?

Carlo Frabetti

Escritor y matemático, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York, ha publicado más de 50 obras de divulgación científica para adultos, niños y jóvenes, entre ellos ‘Maldita física’, ‘Malditas matemáticas’ o ‘El gran juego’. Fue guionista de ‘La bola de cristal’