El dilema de los tres prisioneros

El problema de Monty Hall, planteado la semana pasada, ha suscitado una verdadera avalancha de comentarios, y ha mostrado, una vez más, el gran interés de este acertijo no solo desde el punto de vista de la lógica y del cálculo de probabilidades, sino también de la psicología. Pues a pesar de que varios lectores dieron la solución correcta y la argumentaron de forma convincente o la complementaron con ejemplos clarificadores, no han sido pocos los que se han aferrado a la idea de que es indiferente cambiar o no de puerta: puesto que hay dos puertas -dicen- y tras una hay una cabra y tras la otra un coche, la probabilidad de obtener el coche es del 50%. Esta obstinación se debe a que nos cuesta mucho pensar de forma contraria a la intuición, y la intuición nos dice precisamente eso: dos puertas iguales, iguales probabilidades.

Nos cuesta mucho pensar de forma contraria a la intuición, y la intuición nos dice que a dos puertas iguales, iguales probabilidades

Sin embargo, cambiando de puerta la probabilidad de obtener el coche pasa de 1/3 a 2/3, o sea, se duplica. La explicación es muy simple, aunque a la vez muy contraintuitiva: es evidente que al elegir una puerta de entre tres la probabilidad de acertar es 1/3, y que la probabilidad de que el coche esté detrás de una de las otras dos puertas es 2/3. Tras abrir una de las puertas, la probabilidad de que el coche esté detrás de una de las puertas no elegidas sigue siendo 2/3, solo que ahora esa probabilidad se concentra en la puerta no abierta de esas dos, puesto que sabemos que detrás de la otra hay una cabra.

De los ejemplos puestos por los acertantes para convencer a los renuentes, me parece especialmente clarificador el de Tony Montana, uno de nuestros lectores más participativos: “A ver, lotería de 1.000 números, tú compras uno y yo compro 999. No te enseño ninguno. ¿Me cambias tu boleto por mis 999 boletos? Ahora otra vez lotería de 1.000 números, tú compras uno y yo compro 999, pero esta vez de los míos te enseño 998 boletos no premiados. ¿Me cambias tu boleto por el mío que todavía no te he enseñado? ¿Qué diferencia hay entre los dos casos?”. Ninguna, obviamente… O no tan obviamente, pues aún hay lectores que no están convencidos. Le sobraba razón al maestro Martin Gardner cuando dijo, en su día, que este acertijo era wonderfully confusing.

Tres prisioneros saben que uno de ellos va a ser indultado, pero no saben cuál de los tres...

El problema de Monty Hall tiene un claro precedente en el dilema de los tres prisioneros (no confundir con el conocido dilema del prisionero, del que nos ocuparemos en otra ocasión). Tres prisioneros, a los que llamaremos Alberto, Bernardo y Carlos, saben que uno de ellos va a ser indultado, pero no saben cuál de los tres. Alberto soborna al carcelero para que le diga, de los otros dos, el nombre de uno que no vaya a ser indultado. El carcelero acepta el soborno y le dice: “Bernardo no va a ser indultado”. Alberto se siente algo mejor, pues piensa que ahora su probabilidad de ser indultado es del 50%, ya que solo hay dos candidatos: Carlos y él. ¿Está justificada su alegría? ¿Alguien más debería alegrarse?

Y para que no decaiga, otra sutil variación sobre el mismo tema. En una caja hay dos bolas blancas, en otra hay dos bolas negras y en una tercera caja hay una bola blanca y una negra. Sin conocer el contenido de cada caja, metes la mano al azar en una de ellas y sacas una bola blanca. ¿Cuál es la probabilidad de que la otra bola de esa caja sea también blanca?

En cuanto a la paradoja de los dos sobres, como ningún lector ha dado una explicación convincente (al menos eso creo, aunque podría habérseme escapado entre los cientos de comentarios recibidos por distintas vías), pospondré mi explicación personal y en su lugar plantearé una variante que tal vez facilite un poco el abordaje de la escurridiza paradoja. Dos amigos se encuentran y uno le dice al otro: “Qué bonita corbata llevas”, y el otro contesta: “Pues la tuya también es muy bonita”. Y tras intercambiar elogios sobre sus respectivos apéndices indumentarios, llegan al siguiente acuerdo: cada uno dirá lo que le ha costado su corbata, y el que tenga la más cara se la regalará al otro. La paradoja estriba en que los dos podrían pensar que la apuesta es ventajosa, pues si ganan obtienen algo que vale más que lo que pueden perder. ¿Cómo puede ser una apuesta ventajosa para ambos apostantes?

Carlo Frabetti

Escritor y matemático, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York, ha publicado más de 50 obras de divulgación científica para adultos, niños y jóvenes, entre ellos ‘Maldita física’, ‘Malditas matemáticas’ o ‘El gran juego’. Fue guionista de ‘La bola de cristal’