Euler y los 36 oficiales

Para determinar el orden de las terminaciones en la tercera estrofa de una sextina, hacemos con la segunda lo mismo que hemos hecho con la primera, y así sucesivamente, con lo que obtenemos el siguiente esquema:

1 6 3 5 4 2

2 1 6 3 5 4

3 5 4 2 1 6

4 2 1 6 3 5

5 4 2 1 6 3

6 3 5 4 2 1

Ningún número se repite en ninguna fila, lo que quiere decir que todas las terminaciones de los versos ocupan todos los lugares posibles. Y si a la última estrofa le aplicamos el mismo algoritmo transformador que a las anteriores, obtenemos de nuevo la ordenación de la primera. Por lo tanto, la matriz de transformación de la sextina es un cuadrado latino de orden 6. Y, por cierto, en esta ocasión la poesía podría haberse adelantado a la matemática, pues las primeras sextinas fueron compuestas en el siglo XII por el trovador occitano Arnaut Daniel, mientras que los primeros cuadrados latinos (denominados así por Euler mucho después como vimos la semana pasada) de los que hay noticia son los wafq majazi de un manuscrito árabe del siglo XIII.

Las cuatro figuras (as, sota, caballo y rey) de una baraja se pueden colocar formando un cuadrado de 4x4 tal que cada fila y cada columna contenga todas las figuras y todos los palos, o sea, formando un cuadrado grecolatino. Como este de la izquierda:

El llamativo diseño de la portada de la semana pasada representa un cuadrado latino de orden 10, construido en 1959 por E. T. Parker. El hecho de que la prestigiosa revista Scientific American le dedicara al descubrimiento la portada de noviembre de ese año da idea de su importancia. Pero ¿por qué dar tanta relevancia a la resolución de un acertijo matemático? Vayamos por partes…

En 1779, Leonhard Euler escribió: “Una cuestión muy curiosa que ha desafiado el ingenio de muchas personas me llevó a emprender una investigación que al parecer ha abierto una nueva vía en el análisis y, en particular, en combinatoria. Es una cuestión relativa a un grupo de treinta y seis oficiales de seis rangos diferentes, tomados de seis regimientos distintos, y distribuidos en un cuadrado de tal forma que en cada fila y cada columna haya seis oficiales de diferente rango y regimiento. Pero, después de dedicar muchos esfuerzos a resolver este problema, hay que admitir que tal disposición es imposible, aunque no podemos dar una demostración rigurosa”.

Y puesto que últimamente hemos hablado de ajedrez y de cuadrados mágicos, unamos ambos temas en un interesante acertijo. El rey blanco parte de su posición inicial en e1y recorre todo el tablero pasando una y solo una vez por cada casilla; numeramos las casillas según el orden en que el rey las visita y, ¡oh maravilla!, obtenemos un cuadrado mágico. ¿Cuál ha sido el recorrido del rey?

Como el problema es de difícil solución, se impone dar una pista (o dos si son pequeñas): los siete primeros números de la fila 1 son 61, 62, 63, 64, 1, 2 y 3 (evidentemente, el 1 corresponde a e1, la posición inicial del rey blanco), y los siete primeros de la fila 8 son 36, 35, 34, 33, 32, 31 y 30.

Carlo Frabetti

Escritor y matemático, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York, ha publicado más de 50 obras de divulgación científica para adultos, niños y jóvenes, entre ellos ‘Maldita física’, ‘Malditas matemáticas’ o ‘El gran juego’. Fue guionista de ‘La bola de cristal’