Los pactos son política, pero también matemáticas (y no solo consiste en sumar)

Se ha señalado estos días que el proceso de conformar una mayoría suficiente como para investir un presidente del Gobierno de España el próximo 2 de marzo no es un problema aritmético, sino político. Estoy de acuerdo con el fondo de esta afirmación. Pero señalaré que las matemáticas, aunque no resuelven el problema, sí pueden ayudar (modestamente) a entenderlo.

La pregunta que quiero plantear es ¿cómo medir, en términos estrictamente matemáticos, la influencia que puede tener cada uno de los grupos políticos presentes en el Congreso de los Diputados a la hora de constituir una mayoría ganadora, es decir, de lograr 176 votos favorables? Me limito a esta pregunta porque contemplar las diversas opciones de mayorías relativas que propiciarían las posibles abstenciones en la previsible segunda votación del día 5 es mucho más complejo, y no quiero abusar de la paciencia de los lectores. Por ello hablaremos solo de la primera votación, en la que es necesaria la mayoría absoluta del Congreso para que Pedro Sánchez resulte investido.

Por supuesto el voto de cada diputado vale lo mismo, pero sabemos que votan agrupados. Para un primer análisis consideraremos que se agrupan de acuerdo con los partidos y coaliciones que se presentaron a las elecciones, de modo que nos encontramos con diez "votantes", que cuentan respectivamente con 123 (PP), 90 (PSOE), 69 (Podemos), 40 (C's), 9 (ERC), 8 (DiL), 6 (PNV), 2 (IU), 2 (Bildu) y 1 voto (CC). Como hemos dicho, queremos medir la posible influencia de cada uno de estos votantes para llegar a los 176 votos necesarios.

Para ello, vamos a considerar la llamada Cuota de Poder de Banzhaf. Una coalición es ganadora (en nuestra situación) si alcanza los 176 votos, y un votante (en nuestro caso un grupo político) es "crítico" en una coalición ganadora si, en caso de abandonarla, la coalición ya no llega a los 176 votos. Por ejemplo, en una gran coalición PP+PSOE+C's los dos primeros serían críticos, pero C's no lo sería. El solitario voto de CC sería crítico en 3 coaliciones: PP+C's+Dil+IU+Bildu+CC, PSOE+Podemos+DiL+PNV+IU+CC y PSOE+Podemos+DiL+PNV+Bildu+CC.

Insistimos: no estamos valorando si estas coaliciones son políticamente posibles o deseables. La mayoría serán, en la práctica, imposibles. Solo tenemos en cuenta que son matemáticamente ganadoras.

Desde el punto de vista aritmético el PP tiene más cuota de poder en el Congreso que la que le correspondería por sus escaños

No es fácil hacer estas cuentas para todas las posibles coaliciones, pero por suerte hay webs que las hacen por nosotros. Hemos elegido https://math.temple.edu/~conrad/cgi-bin/PowerIndex.py, que utiliza la definición que daremos a continuación (se pueden encontrar otras definiciones ligeramente distintas).

El Índice de Banzhaf de un votante (en este caso, de una formación política) es el número de coaliciones en las que es crítico (es decir, imprescindible para alcanzar mayoría absoluta). Su Cuota de Poder se obtiene dividiendo ese índice por la suma de los índices de todos los votantes.

En nuestro ejemplo, la mencionada web nos dice que esa suma de índices es 872, y que el PP es crítico en 329 coaliciones. Por tanto, su cuota de poder (a los efectos de elegir presidente del Gobierno el 2 de marzo) es 329/872, o aproximadamente un 37,7%. Obsérvese que este valor es algo mayor que el peso de sus 123 diputados, que suponen un 35,14% del Congreso.

Aunque los socialistas tienen más votos y escaños, matemáticamente la cuota de poder de PSOE y Podemos es la misma

La sorpresa viene al calcular las cuotas de poder de PSOE y Podemos. El PSOE nos recuerda continuamente el incontestable dato de que ellos han sido segundos, pero resulta que ambos partidos son críticos en 183 coaliciones, y por tanto tienen idénticas cuotas de poder de casi el 21%, a pesar de que el PSOE tiene el 25,7 % de los diputados y Podemos solo el 19,7%.

¿Y qué pasa con Ciudadanos? Pues que sus 40 diputados, el 11,4% del total, le dan una cuota de poder de aproximadamente el 8,4%, notablemente menos que la mitad de la de Podemos.

En sentido contrario, el 2,57% de diputados de ERC supone una cuota de poder del 4%. Pero esta diferencia no se debe a que la Ley Electoral prime a los nacionalistas, sino, como ahora veremos, a cómo hemos agrupado los escaños del Congreso.

Nos podemos preguntar cómo variarán las cuotas de poder si, como ha sucedido, Compromís se desgaja de Podemos. Aparece ahora un undécimo votante, el propio Compromís, con 4 votos, mientras que el votante Podemos ve reducido su peso a 65 votos. Si, con ayuda de nuestra web de cabecera, volvemos a hacer los cálculos, nos encontramos con que, sin cambiar sus diputados y con un nuevo actor a su izquierda, las cuotas de poder del PP y C's suben (al 39,6% y el 10,2% respectivamente), mientras que la del PSOE baja, al 19,2% ¡y sigue siendo igual a la de Podemos, que ha perdido votos! Y ERC también ve disminuir su cuota. Las posiciones en el espectro político de quienes ganan y pierden podrían hacer pensar que esto es política. Pero no: son matemáticas.

Podríamos también haber hecho las cuentas considerando como votantes independientes a quienes, a pesar de haber ido en coaliciones, han optado por el Grupo Mixto: UPN, FAC, NCa y el diputado Gómez de la Serna. Los resultados volverían a ser parecidos a los de nuestro primer ejemplo, aunque PSOE y Podemos, todavía empatados, perderían algo de influencia. Pero quizás sea más instructivo calcular cuáles serían las cuotas de poder si hubiese que alcanzar una mayoría reforzada, como la requerida para una reforma constitucional profunda. Lo dejamos para cuando se sepa si esa (eventual) tarea recaerá sobre este Congreso o sobre el que pueda surgir de unas nuevas elecciones.

De momento, nos contentamos con haber mostrado que, aunque el problema de elegir presidente del Gobierno sea político y sean nuestros representantes electos quienes tienen la responsabilidad de resolverlo, las matemáticas pueden cuantificar algunas de las dificultades que se interponen en el camino hacia la conformación de una coalición ganadora.

Adolfo Quirós Gracián es profesor en el Departamento de Matemáticas de la Universidad Autónoma de Madrid y director de La Gaceta de la Real Sociedad Matemática Española.