Matemáticas para describir las vibraciones de las moléculas

Todo el mundo sabe que las moléculas están compuestas por átomos, y estos por núcleos y electrones. Sin embargo, es mucho menos conocido que todos ellos están en perpetuo movimiento, incluso a las temperaturas más bajas posibles. Estas complejas danzas moleculares, similares a coreografías de ballet, se estudian en una disciplina llamada dinámica molecular. Es una rama de la ciencia próxima a la mecánica celeste, que por su parte analiza los bailes de los cuerpos celestes, al compás de las fuerzas gravitatorias. De hecho, ambas disciplinas comparten métodos y teorías.

Cada combinación de átomos sólo es capaz de ejecutar una danza específica, con un ritmo que se repite periódicamente en el tiempo. Las correspondientes frecuencias constituyen una huella dactilar inequívoca que sirve, por ejemplo, para detectar los explosivos o drogas que pueda haber en equipajes de aeropuertos o paquetes. Describir las danzas es clave, por tanto, para caracterizar cada una de las sustancias.

Para estudiarlas es importante tener en cuenta el escenario en el que tienen lugar. Son los llamados paisajes moleculares, descritos por hipersuperficies de múltiples dimensiones que expresan la energía relativa de cada configuración de átomos en la molécula. Tienen una topografía compleja formada por valles y collados, cuestas y pendientes.

Los valles corresponden a estados moleculares estables. En ellos los núcleos actúan como si estuvieran unidos por muelles elásticos y vibran todos al unísono. El movimiento de los núcleos sigue una forma muy regular (descrita por objetos matemáticos denominados toros, iguales a los donuts de nuestro desayuno). A medida que aumenta la excitación, por ejemplo, al aportar calor o energía con un láser, los núcleos se separan de los valles, tornándose sus movimientos más complicados (anarmónicos). Esta complicación aumenta, hasta que se vuelven caóticos e impredecibles, igual que el tiempo atmosférico.

Matemáticamente, esta transición del orden de los toros al caos puede analizarse a través de teoremas de la moderna teoría de sistemas dinámicos, desarrollados en la segunda mitad del siglo XX. Si la excitación es todavía mayor, algunos átomos tendrán energía suficiente para sobrepasar los distintos collados del paisaje molecular y explorar otros valles del mismo, produciéndose de esta forma las reacciones químicas. Las reacciones químicas suceden en tiempos muy cortos, del orden del femtosegundo, que es igual a la milbillonésima parte de un segundo.

Es posible determinar de forma precisa la velocidad de la reacción, gracias a una teoría geométrica que emplea técnicas matemáticas similares a las anteriores, también derivadas de la mecánica celeste. Esta teoría se basa en un objeto denominado NHIM (del inglés normally hyperbolic invariant manifold), que determina que en el estado de transición intermedio, entre reactivos y productos, hay al menos una dirección con movimiento irregular o caótico que gobierna la reacción. El NHIM tiene propiedades importantes como su robustez, lo que significa que no es destruido (aunque sí puede ser modificado) por agentes exteriores (por ejemplo, un láser).

Esta última propiedad permite utilizar láseres para el control preciso y específico de reacciones químicas, haciendo que estas transcurran en la dirección deseada, de la misma forma que un cirujano utiliza su bisturí en una operación quirúrgica. En esta situación, la frecuencia del láser (relacionada con su color), se incorpora como un elemento más de la danza molecular haciendo que esta cambie. Para desarrollar y aplicar esta herramienta (y otras) de forma efectiva, son fundamentales las técnicas matemáticas presentadas, que dan cuenta de cómo es la dinámica en las moléculas, cómo ocurre la transferencia de energía entre ellas o las características del estado de transición.

Florentino Borondo es catedrático en el Departamento de Química de la Universidad Autónoma y miembro del Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT)

Café y Teoremas es una sección dedicada a las matemáticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los últimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matemáticas y otras expresiones sociales y culturales y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar café en teoremas. El nombre evoca la definición del matemático húngaro Alfred Rényi: "Un matemático es una máquina que transforma café en teoremas".

Edición y coordinación:Ágata Timón (ICMAT).

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