HEX

Nos preguntábamos la semana pasada de cuántas maneras diferentes se puede expresar el número 210 como producto de números naturales (enteros y positivos). Lo primero es descomponerlo en factores primos: 210 = 2 x 3 x 5 x 7; las distintas factorizaciones serán las distintas formas de agrupar estos primos, con lo que el problema es equivalente al de las amigas viajeras (si excluimos la opción de que vayan todas juntas en el mismo coche, que correspondería a la factorización trivial 1 x 210):

210 = 2 x 3 x 5 x 7 = 2 x 3 x 35 = 2 x 5 x 21 = 2 x 7 x 15 = 3 x 5 x 14 = 3 x 7 x 10 = 5 x 7 x 6 = 2 x 105 = 3 x 70 = 5 x 42 = 7 x 30 = 6 x 35 = 10 x 21 = 14 x 15

En cuanto al número 2310, en su descomposición en factores primos no hay ninguno repetido (es decir, con exponente): 2310 = 2 x 3 x 5 x 7 x 11, por lo que, al igual que en el caso anterior, el número de posibles descomposiciones en factores enteros y positivos coincidirá con el número de Bell B₅ = 52 (con la salvedad de excluir el 1 como factor).

Los inventos de Hein

Nuestro comentarista habitual Carlos Gaceo ha enviado un enlace a un interesante juego llamado MatHex (ver comentario 72 de la semana pasada), que es una actualización digitalizada del Hex, juego de tablero inventado en los años cuarenta del siglo pasado por el ingeniero y escritor danés Piet Hein.

El Hex se juega sobre un tablero de 11 x 11 casillas hexagonales, donde dos jugadores van colocando alternativamente sus fichas, blancas las de uno y negras las del otro, intentando unir los dos lados opuestos del tablero que le corresponden a cada jugador con una cadena continua de sus fichas. Es un juego de fichas estáticas, como el Go: una vez colocadas en el tablero, permanecen en la misma casilla hasta el final de la partida. Las cuatro casillas de las esquinas pertenecen a ambos lados concurrentes y, por tanto, a ambos jugadores.

Aunque el tablero más habitual es el de 11 x 11, se pueden usar tableros de otros tamaños. En la figura vemos el final de una partida ganada por las blancas en un tablero de 5 x 5. Pero la posición es poco verosímil. ¿Por qué?

El tablero reducido facilita el análisis del juego. ¿Hay una estrategia ganadora? ¿Se puede demostrar que uno de los jugadores tiene ventaja? ¿Puede acabar en tablas la partida?

Piet Hein inventó también el cubo soma, un rompecabezas tridimensional del que nos hemos ocupado en alguna ocasión, y aunque no descubrió la superelipse, estudió sus propiedades y las aplicó al diseño y a la escultura. Pero ese es otro artículo.