Una curiosidad desconocida del número áureo

Si preguntáis a gente de matemática cuál es el más hermoso de todos los números, muchos escogerán el siguiente:

Extraño, pero lo cierto es que este número (conocido como número áureo) aparece en numerosos escenarios: series numéricas, figuras geométricas, formas de la naturaleza... Tanto Leonardo da Vinci como Le Corbusier respetaron siempre estas proporciones en sus obras. También los seguidores de corrientes ocultistas lo han incorporado en la iconografía de sus organizaciones como símbolo de sacralidad, y las banderas de varios países se apoyan en el número áureo en su diseño.

En geometría, encontramos ϕ en un pentágono de lados iguales, exactamente en la proporción entre la longitud de la diagonal y la del lado del pentágono En aritmética, aparece en la serie de Fibonacci, en la que cada término se obtiene sumando los dos anteriores (comenzando con 1, 1, y luego 1+1 = 2, 2+1 = 3, 3+2 = 5, 5+3 = 8, 13, 21, 34, 55,...). Si se divide cada elemento por el anterior, se obtiene: 2/1= 2, 3/2= 1,5, 5/3=1,666…, 8/5=1,6, 13/8=1,625, 21/13=1,615, 34/21= 1,619… Pues bien, estos cocientes se van aproximando cada vez más a ϕ.

El número ϕ es irracional, es decir, no es la división de dos números enteros. En este aspecto, nuevamente ϕ destaca, pues es el número más irracional de todos. Efectivamente, existe una forma concreta de medir cuán alejado está un número irracional de ser una fracción y, en este ranking, ϕ supera a todos los irracionales.

Por otro lado, las proporciones de diversas partes de los seres vivos tienden a ser áureas, es decir, iguales a ϕ. En los seres humanos, esto se cumple, por ejemplo, para las distancias de los pies al ombligo y desde allí a la parte superior de la cabeza, las longitudes del antebrazo y la mano, o las distancias de la punta de la nariz al mentón y desde allí a los labios.

Ya los antiguos griegos develaron algunos de los misterios matemáticos de la proporción áurea Por ejemplo, propusieron la primera construcción exacta de un pentágono regular usando regla y compás. Ellos también fueron sensibles a las propiedades estéticas de ϕ, y lo implementaron en el diseño de decoraciones y construcciones. De hecho, la letra griega ϕ (fi) fue acuñada en honor al célebre escultor Fidias, quien siguió patrones áureos en la elaboración de las esculturas que decoraban el Partenón de Atenas.

En cuanto a banderas, la proporción entre el largo y el alto de la de Togo es igual a ϕ Sin embargo, la que despliega las proporciones áureas en su máximo esplendor es una bandera casi olvidada, aquella con la que Chile firmó su independencia hace 200 años.

Al igual que varios países de Latinoamérica, el proceso independentista chileno se inspiró en las ideas libertarias e iluministas de Francia y EE.UU. recogidas, entre otras, por las logias masónicas. Los colores elegidos para la bandera del país naciente, blanco, azul y rojo, son una muestra evidente de esto. Más aún, su diseño geométrico perfecto revela una conexión muy profunda. En él, ϕ aparece en varias proporciones: entre los largos de los campos blanco y azul entre el alto de la parte azul y el diámetro de la circunferencia en la cual se inscribe la estrella, y entre las partes del lado azul delimitadas por las proyecciones de los ejes de la estrella.

La última propiedad se logra gracias a que el sector azul corresponde a un rectángulo especial, en el cual se despliega una configuración angular de 36^o, 72^o y 108^o, muy similar a la que aparece en un pentágono regular. 

Varios misterios rodean a este diseño. ¿Quién lo hizo? ¿Por qué no se guardó ningún registro? ¿Quiénes poseían este conocimiento y se encargaron de enseñarlo hasta fines del siglo XIX? ¿Por qué nadie dio testimonio de la presencia de la razón áurea por casi 200 años, hasta que el filósofo y experto en estética Gastón Soublette dio con ella?

Increíblemente, todas estas preguntas siguen sin respuesta. Sobre el diseño, se supone que este habría sido en parte ideado por el libertador Bernardo O’Higgins, correspondiendo la implementación técnica a un ingeniero militar. Aquí la opinión de los historiadores se divide: algunos postulan a Antonio Arcos y otros a Gregorio de Andía y Varela. Una curiosidad: ambos eran de origen español, pero intervinieron en favor de Chile durante la guerra.

La Bandera de la Independencia es conservada en el Museo Histórico Nacional de Santiago. En 1912, las proporciones de la bandera chilena fueron modificadas (y simplificadas), perdiéndose así gran parte del simbolismo de este emblema. Fue un verdadero sacrilegio geométrico.

Andrés Navas es profesor de la Universidad de Santiago de Chile e investigador visitante de la Universidad Nacional Autónoma de México.

Café y Teoremas es una sección dedicada a las matemáticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los últimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matemáticas y otras expresiones sociales y culturales y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar café en teoremas. El nombre evoca la definición del matemático húngaro Alfred Rényi: "Un matemático es una máquina que transforma café en teoremas".

Edición y coordinación: Ágata Timón (ICMAT)