La cinta que tiene solo una cara

Hace 150 años fallecía en Gotinga un matemático y astrónomo teórico alemán, August Ferdinand Möbius (1790-1868), fundamentalmente conocido por un famoso objeto matemático que lleva su nombre. La Banda de Möbius se estudia en la topología, el área de las matemáticas centrada en las propiedades cualitativas de los objetos geométricos, es decir, en aquellas que no varían cuando el objeto es estirado o contraído, sin romper ni pegar. En topología, por tanto, no son importantes ni los tamaños, ni las posiciones: es la geometría de la plastilina.

La Banda de Möbius se obtiene al pegar dos lados opuestos de un rectángulo, uno de los cuales se gira antes 180 grados (ver imagen abajo). Posee una sorprendente propiedad: tiene una única cara –es posible dibujar una circunferencia sobre ella sin levantar el rotulador del papel y quedando toda la superficie marcada–. Numerosos diseños industriales utilizan esta cualidad: cintas transportadoras de materiales calientes, correas abrasivas o cartuchos de tinta con forma de banda de Möbius en vez de cilíndrica, que duran el doble de tiempo al utilizarse de manera óptima su única cara.

Otra de sus peculiaridades es que dispone de un solo borde –se puede pasar el dedo sobre él para comprobarlo– y es no orientable, es decir, no es posible hacer una elección consistente de vector normal en cada punto. Esto último se puede comprobar dibujando flechas verticales sobre el rectángulo; al construir la banda ¡habrán cambiado de sentido! De hecho, cualquier objeto no orientable contiene una banda de Möbius, como el plano proyectivo real o la botella de Klein. La falta de orientabilidad es una propiedad que da mucha información sobre objetos que se estudian en nanotecnología o cosmología.

Las extrañas características de la banda de Möbius la convierten en un ejemplo contraintuitivo, en el que pueden fallar algunas propiedades que se espera que sean ciertas para las superficies en general. De esta manera también se avanza en matemáticas: para saber si una propiedad es cierta, o bien se demuestra de forma general, o bien se encuentra un caso en el que no lo es (lo que se llama un contraejemplo). La banda de Möbius es una excelente fuente de contraejemplos.

Fue descubierta en 1858 por August Ferdinand Möbius y, de forma independiente, por el fundador de la topología, Johan Benedict Listing. Las instrucciones para construirlo, junto con alguna descripción de sus propiedades topológicas, se encontraron en una memoria presentada por Möbius a la Académie des Sciences francesa, algún tiempo después de su fallecimiento en Leipzig. Hasta entonces nadie había sido capaz de describir formalmente sus especiales propiedades topológicas.

Möbius nació en Schulpforta el 17 de noviembre de 1790. Los primeros años de su educación corrieron a cargo de su madre, Johanne Katharine Christiane Keil, descendiente del reformador religioso Martín Lutero. Su padre falleció cuando tenía tres años y fue ella quien se ocupó de su formación hasta que cumplió los trece, cuando ingresó en el colegio de Schulpforta, su ciudad de nacimiento.

Aunque su familia deseaba que estudiara Derecho, solo lo hizo durante un semestre, ya que su pasión era la ciencia. Estudió matemáticas, astronomía y física en diferentes universidades y con grandes científicos de su época: en Leipzig aprendió astronomía con Karl Mollweide, en Gotinga continuó con esta materia bajo la supervisión de Carl Friedrich Gauss y en Halle tuvo como instructor a Johann Friedrich Pfaff. En 1815, supervisado por Pfaff, completó su tesis doctoral sobre métodos de cálculo aplicados al estudio de estrellas fijas ocultadas por planetas.

En 1816, recomendado por Gauss, fue designado profesor extraordinario de la Cátedra de Astronomía y Mecánica Superior de la Universidad de Leipzig; en 1844 fue nombrado Catedrático. En 1848 se convirtió en el director del Observatorio de Leipzig, tras supervisar su reconstrucción. Además, desde 1846, fue miembro de la Academia de Ciencias de Gotinga.

Casi todo su trabajo fue publicado en Crelle, la primera revista dedicada exclusivamente a artículos de investigación en matemáticas. Dejó un importante legado científico que trascendió la propia ciencia. Además de las ya comentadas aplicaciones, su banda ha inspirado a artistas de todos los ámbitos, como metáfora del infinito, del eterno retorno. Con este sentido, aparece en el símbolo del reciclado, diseñado por Gary Anderson en 1970: las tres flechas colocadas de manera triangular representan la recogida de materiales, el reciclaje y la reutilización, un proceso cíclico que continúa sin fin.

Marta Macho-Stadler es profesora del Departamento de Matemáticas de la Universidad del País Vasco

Edición y coordinación: Ágata Timón (ICMAT)

Café y Teoremas es una sección dedicada a las matemáticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los últimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matemáticas y otras expresiones sociales y culturales, y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar café en teoremas. El nombre evoca la definición del matemático húngaro Alfred Rényi: "Un matemático es una máquina que transforma café en teoremas".