¿Cuánto llevamos contando?

Nuestra cuenta hacia el infinito empezó hace varios milenios. De hecho, todo apunta a que el primer pensamiento racional del ser humano consciente estuvo relacionado con contar. Los humanos necesitaban llevar la cuenta del paso del tiempo. Hasta el momento, el rastro más antiguo de esa cuenta es un hueso encontrado a principios de la década de 1970 durante una excavación en Border Cave, una gruta situada en los montes Lebombo que separan Sudáfrica de Suazilandia. Se trata de un fragmento de peroné de babuino en el que pueden verse 29 muescas claramente definidas. El hueso data aproximadamente del año 35.000 a. C., y se cree que ese tipo de hueso se usaba para seguir el paso de los días durante un ciclo lunar.

Otro ejemplo más sofisticado de cuentas con huesos apareció entre el Congo y Uganda y se conserva ahora en el Real Instituto de Ciencias Naturales de Bélgica. Se lo conoce como el "hueso de Ishango", y los expertos lo fechan en torno al año 20.000 a. C. En él hay cuatro columnas de muescas, y es evidente que con ellas se contaba algo. En una columna se cuentan 11 muescas, y en las otras 13, 17 y 19. ¿Es solo coincidencia que estos sean los números primos que hay entre 10 y 20 (lo que de por sí ya es interesantísimo)? ¿O estaba la humanidad ya por entonces obsesionada con esos números indivisibles? Lo que está claro es que aquellos cavernícolas se valían de las muescas para contar algo.

Cómo contar hasta infinito

Este texto es un capítulo del libro Cómo contar hasta infinito (Blackie Books), escrito por el matemático Marcus du Sautoy (Londres, 1965). El autor, profesor de matemáticas en la Universidad de Oxford, es uno de los divulgadores científicos británicos más populares.

Las pinturas rupestres de Lascaux (15.000 a. C.) dejan también constancia de aquellas primeras cuentas. En las paredes, junto a las extraordinarias representaciones de animales en movimiento, hay también extrañas secuencias de puntos. Según una de las hipótesis, esos puntos indican los cuartos de la luna. Pueden verse trece puntos que van a dar a un enorme ciervo en plena berrea. Si cada punto refleja un cuarto de la luna, trece puntos comprenden la cuarta parte de un año. Una estación. La imagen probablemente sea un manual de formación para cazadores en ciernes, e indica en qué momento del año los ciervos están en celo y son presa fácil.

El problema está en que contar con puntos o muescas no es un sistema demasiado útil. Para empezar, resulta difícil percibir a simple vista cuántas muescas tiene el hueso, o cuántos puntos hay en la pared. A partir de cinco puntos, los humanos tenemos problemas para distinguir las cantidades que tenemos ante nosotros.

A fin de poder avanzar, diversas culturas de todo el mundo empezaron a desarrollar formas de cálculo más sofisticadas.

Los antiguos egipcios idearon toda una serie de símbolos bastante curiosos para indicar que habían llegado hasta 10, o hasta 100, o hasta potencias de 10. Para representar el 10 dibujaban un talón, o una rana para indicar que habían llegado a 100.000. El sistema, sin embargo, tampoco iba a ser de mucha ayuda si el objetivo era llegar hasta infinito. A medida que se alcanzaran cifras más y más altas harían falta nuevos símbolos. En vez de eso, otras culturas descubrieron el poder del sistema de notación posicional, mediante el cual es posible intentar contar hasta infinito con un número finito de símbolos.

Una de esas culturas se encuentra en América del Sur. Hace ahora unos dos mil años, los mayas empezaron a utilizar el sistema de puntos ya empleado por los moradores de las cuevas, pero los mayas, cuando llegaban a cuatro puntos, en lugar de añadir un quinto hacían lo que los cautivos cuando llevan la cuenta de días que les faltan para salir a la calle: cruzar los cuatro puntos con una línea para indicar el 5. Cuando llegaban a 20, en vez de añadir más puntos y más líneas recurrían a la notación posicional de los símbolos y añadían una segunda posición para llevar la cuenta de cuántas veintenas llevaban ya. Por ejemplo:

Este diagrama equivale a un bloque de 20 más cinco unidades. El contenido de la casilla inferior indica el número de unidades (representado en este caso por una línea, que son cinco unidades) y el de la casilla superior, el de cantidades de 20 (en este caso, representado por el punto). Ese era su 25. Y así, solo con puntos y líneas, podían contar hasta infinito. Solo tenían que añadir más y más posiciones para indicar potencias de 20 (del mismo modo que nosotros llevamos la cuenta de las potencias de 10). El sistema de puntos y rayas de los mayas era muy sofisticado, a tal punto que permitía a los astrónomos mantener un registro de extensísimos períodos de tiempo.

Este sistema de notación posicional ya lo empleó una de las primeras culturas en practicar las matemáticas. Los antiguos babilonios contaban en múltiplos de 60. Tenían símbolos que llegaban hasta 59, y a continuación abrían una nueva columna para indicar la cuenta de otro bloque de 60. Llegados a este punto, estoy seguro de que os preguntáis por qué contamos en grupos de 10 mientras otras culturas lo hacen en grupos de 20 o 60. Si optamos por el sistema decimal no fue porque el 10 tuviese una importancia matemática especial, sino simplemente porque contábamos con las manos. Los Simpson, que tienen ocho dedos, seguramente cuentan en secuencias de 8. Quizá los mayas contaban en grupos de 20 porque usaban las manos y los pies.

Entonces, ¿por qué contaban los babilonios en grupos de 60? Una razón a tener en cuenta está en las propiedades matemáticas especiales de esa cifra. Es un número altamente divisible. Puede dividirse entre 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15 y 30, y eso lo hace muy flexible. Pero hay otra teoría, según la cual el 60 guarda relación con nuestra anatomía. Existe una manera de contar hasta 60 con los huesos de las manos. Tenemos 12 huesos en cuatro dedos de la mano derecha. Usando el pulgar podemos contar del 1 al 12. Con los dedos de la mano izquierda llevamos la cuenta de cuántos doces llevamos contados. Podemos contar hasta cinco grupos de 12..., es decir, hasta 60.

Aunque hoy contamos de diez en diez, aún quedan reductos del sistema sexagesimal babilonio en la forma en que registramos el paso del tiempo. Un minuto tiene 60 segundos. Una hora, 60 minutos.

Y ahora que tenemos símbolos diferenciados para llevar la cuenta de nuestro avance hacia el infinito, necesitamos una estrategia para llegar hasta él.