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Equipos imprevistos

¿Qué ocurre si, en una liga de fútbol, se incorporan equipos que no estuviesen previstos?

Fotograma de Los Simpsons.
Fotograma de Los Simpsons.

En un dominó que solo contiene los números del 0 al 3 hay diez fichas: 0-0, 0-1, 0-2, 0-3, 1-1, 1-2, 1-3, 2-2, 2-3 y 3-3, y tiene la particularidad de que no podemos formar una cadena continua con todas ellas: siempre sobrará al menos una. Veíamos la semana pasada que la combinatoria del dominó convencional de 28 fichas se puede representar mediante un heptágono con todas sus diagonales, en el que cada vértice representa una ficha doble y cada lado y diagonal la ficha mixta con los números de los vértices que une. Pues bien, el grafo correspondiente al dominó de cuatro números es un cuadrado con sus dos diagonales; en cada vértice confluyen tres segmentos (dos lados y una diagonal), un número impar, por lo que no podemos dibujar la figura de un solo trazo, lo que equivale a decir que no podemos formar una cadena continua con todas las fichas.

En el dominó “doble doce” hay 91 fichas: cada uno de los trece números (del 0 al 12) se combina con cada uno de los demás, lo que da lugar a 13x12/2 = 78 fichas mixtas, a las que hay que sumar las 13 dobles. El dominó “doble doce”, también conocido como “tren mexicano”, es prácticamente desconocido en Europa, pero bastante popular en Estados Unidos y otros países americanos, donde se suele jugar con dinero (a tantos centavos el punto). Por cierto, ¿se puede formar una cadena continua con sus 91 fichas?

Relaciones diplomáticas y deportivas

Siguiendo con la combinatoria con condiciones, nuestro “usuario destacado” Francisco Montesinos (ver comentarios de la semana pasada, donde sigue el debate sobre las cadenas de fichas) propone el siguiente problema:

Dos países mantienen relaciones diplomáticas si cada uno de ellos tiene embajada en el otro. En un grupo de 20 países se vio que al menos dos de cada tres no habían establecido relaciones diplomáticas. ¿Puede haber en estos 20 países 200 embajadas o más correspondientes a países del mismo grupo?

Y otro en la misma línea (algo más sencillo, para no recalentar excesivamente las cabezas en estos tórridos días estivales):

En una liga de fútbol, cada equipo ha de jugar dos veces (partido de ida y partido de vuelta) con cada uno de los demás. Una vez establecido el calendario de partidos, se suman a la liga algunos equipos que no estaban previstos, lo que obliga a planificar 34 partidos más. ¿Cuántos equipos participan en la liga?

Carlo Frabetti es escritor y matemático, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado más de 50 obras de divulgación científica para adultos, niños y jóvenes, entre ellos Maldita física, Malditas matemáticas o El gran juego. Fue guionista de La bola de cristal.

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