Un problema que vale un millón de dólares

Normalmente, al demostrar un resultado matemático uno se contenta con la satisfacción que produce la resolución del problema en cuestión, pero, siendo sinceros, no está de más que en ocasiones ese trabajo tenga algún tipo de premio adicional. Hay muchos problemas, actualmente sin resolver, que tienen asignada una dotación económica. Vamos, que si los resuelves te llevas pasta, además del orgullo personal y de la fama que adquirirías en el mundillo.

Los hay con un premio pequeño, testimonial, y también los podemos encontrar con premios bastante apetecibles. Los más conocidos son los problemas del milenio, que son los siguientes:

P versus NP

La conjetura de Hodge

La hipótesis de Riemann

La conjetura de Poincaré

La conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer

Las ecuaciones de Navier-Stokes

Existencia de Yang-Mills y el salto de masa

Fueron propuestos en el año 2000, Año Mundial de las Matemáticas, por el Instituto Clay y cada uno de ellos está dotado con un premio de un millón de dólares. El único que se ha resuelto hasta el día de hoy es la conjetura de Poincaré, que fue demostrada afirmativamente por Grisha Perelman en 2003. Curiosamente, Perelman no aceptó el premio en metálico, ni tampoco la Medalla Fields, uno de los galardones más importantes de los que se otorgan a matemáticos, que se le concedió en 2006.

Pero no vamos a hablar hoy de estos problemas del milenio, sino de otro problema menos conocido por el público general cuyo premio es tan jugoso como los anteriores: la conjetura de Beal.

Vamos a introducir esta conjetura poco a poco. Seguro que muchos de vosotros habéis oído hablar del llamado último teorema de Fermat (UTF), propuesto por Fermat en el siglo XVII en el margen de un libro y demostrado por Andrew Wiles unos 300 años después, en 1995.Este teorema dice lo siguiente:

La ecuación xⁿ+yⁿ=zⁿ no tiene soluciones para x, y,z enteros positivos y n entero positivo mayor que 2.

Para n=2 hay infinitas soluciones, las infinitas ternas de números enteros positivos que cumplen el teorema de Pitágoras, las llamadas ternas pitagóricas.

Andrew Beal, un banquero estadounidense de 64 años al que le apasionan las matemáticas, estaba enamorado del trabajo de Fermat, y concretamente de este problema. Ésta debió ser la razón por la que comenzó a pensar en problemas parecidos al UTF en los que se relajara alguna de las condiciones.

Por ejemplo, ¿qué ocurre si permitimos que los exponentes sean distintos (todos mayores que 1)? Pues que encontramos soluciones (obviamos aquí las ternas pitagóricas, evidentemente). Aquí tenéis algunas de ellas:

Como podéis ver, hay soluciones en las que las bases de las potencias tienen algún factor primo en común (las tres primeras, que tienen como factor primo común al 2, al 3 y al 7 respectivamente), y otras en las que no. Descartemos las que tienen bases con factores primos comunes y quedémonos con las otras (en los ejemplos anteriores, las cuatro últimas).

De éstas se conocen unas cuantas soluciones (al parecer, no se conocen demasiadas), y lo curioso de todas estas soluciones (de las conocidas) es que en todas ellas alguno de los exponentes es 2.

Bien, pues con todo esto ya podemos enunciar la conocida como conjetura de Beal:

Si la ecuación x^a+y^b=z^c, para x, y, z tres enteros positivos y a, b, c enteros positivos mayores que 2, tiene solución, entonces x, y, z tienen algún factor primo común.

Este problema fue propuesto, como era de esperar, por Andrew Beal en 1997, y apareció publicado por primera vez en Notices of American Mathematical Society a través del artículo A Generalization of Fermat’s Last Theorem: The Beal Conjecture and Prize Problem. Para animar a los matemáticos a que pensaran en él, Beal ofreció inicialmente una recompensa de 5000$ para quien resolviera el problema, ya fuera afirmativamente (desarrollando una demostración del mismo) o negativamente (por ejemplo, encontrando un contraejemplo). Esta recompensa se iría ampliando año a año hasta los 50000$, pero al no encontrarse solución al problema pasado ese tiempo se estableció en 100000$. Finalmente el premio por resolver la conjetura de Beal se amplió a 1 millón de dólares en junio de 2013.

A día de hoy, la conjetura sigue siendo eso, una conjetura. Nadie ha podido demostrarla ni refutarla, por lo que la recompensa sigue ahí, esperando a quien consiga dar respuesta a este problema. Para ello, una resolución de la conjetura de Beal debe enviarse al comité de la conjetura de Beal, cuyos miembros son Charles Fefferman, Ron Graham y R. Daniel Mauldin. Además, dicho trabajo debe ser publicado por alguna revista matemática de prestigio y debe ser aceptado por la comunidad matemática (en el caso de que fuera un contraejemplo, debe haber sido verificado como correcto).

Si buscáis un poco por internet, encontraréis bastantes páginas en las que alguien asegura haber demostrado la conjetura de Beal. Ninguna de esas demostraciones cumple las normas impuestas para considerarla correcta: ni se ha verificado por parte del comité, ni hay revista matemática que las haya aceptado. Repito: ninguna. A día de hoy, la conjetura de Beal sigue siendo un problema abierto, y no precisamente fácil de resolver. Así que nada de fiarse de esos charlatanes que dicen haberla demostrado. Yo mismo he recibido alguna que otra supuesta demostración de este problema (y de otros, ya os contaré otro día) y normalmente son escritos llenos de razonamientos no demostrados o, directamente, erróneos.

Os aseguro que si alguien demostrara esta conjetura adquiriría fama a nivel mundial, aunque sólo sea por el premio a cobrar por ello, y aportaría al menos enlaces a la revista donde se publicó y la nota de prensa que la AMS colgaría en su web para anunciarlo. Y, muy posiblemente, nosotros lo contaríamos por aquí y por otros medios. Espero vivir lo suficiente como para poder hablar de tamaña hazaña.