¿Cuál es la máxima altura que puede saltar un humano?

Desde hace más de 25 años, las mejores marcas en salto con pértiga se mantienen estancadas. Durante los primeros cien años de los Juegos Olímpicos de la Era Moderna (desde 1896 a 1990) los récords aumentaron de manera casi monótona, a un ritmo medio de 3,2 cm/año. A partir de 1990, las mayores marcas apenas varían. Solo se incrementó un centímetro en 21 años, entre el récord del ucraniano Serguéi Bubka en 1993, de 6,15, y el del francés Renaurd Lavillenie en 2014, de 6,16. En estos JJ OO de Río, Lavillenie ha sido vencido por el brasileño Thiago Braz da Silva, pero con una marca menor al récord mundial: 6,03. Parece que existe una altura máxima de salto con pértiga que un humano no podrá jamás franquear: los siete metros de altura. Las leyes de conservación de la energía ponen este límite al atletismo.

Desde el punto de vista de la física un salto (de pértiga y de altura) se puede entender como una transferencia de energía cinética (la fase de carrera) en energía potencial (la que posee el atleta al alcanzar la altura máxima). Si no hay pérdida, toda la energía cinética se transformaría en potencial. La energía cinética se calcula con la fórmula ½ MV ², donde M es la masa y V la velocidad. Para Renaud Lavillenie por ejemplo, su masa es de M=70kg y la velocidad que alcanzó fue V=9,9 m/s. Por tanto, su energía cinética al final de la carrera fue de 3430 julios. Por otro lado, la energía potencial se obtiene con la fórmula MgH, donde M es de nuevo la masa, g es la aceleración de la gravedad y H la altura del centro de masa. Para elevar un kilo a un metro del suelo se necesitan 9,81 julios, así que, Lavillenie necesita 687 julios para elevar su centro de masa cada metro. Si toda su energía cinética se convirtiera en potencial, su centro de gravedad podría entonces elevarse 3430/687= 5 metros.

Como Lavillenie mide 1,76 m, al final del salto su centro de gravedad (que está más o menos en la mitad de su cuerpo) está a 5,88 m. Sin embargo, estableció un récord de 6,16 m: ¿desafió las leyes de la física? No, nos falta por considerar un detalle: no es el centro de masas lo que debe pasar por encima de la barra, sino el cuerpo. Su centro de gravedad está a 5,88 m pero su pelvis está encima, a una distancia L/4, o sea 44 cm arriba. La altura máxima a la cual Renaud Lavillénie puede saltar es entonces 5,88+0,44=6,32m. Otras características físicas (masa, velocidad de carrera y altura) conducen a otras alturas máximas aunque sin mucha variación, y aunque evidentemente hay simplificaciones en estos cálculos, parece que la altura máxima a la cual un ser humano podría saltar son 7m.

Parece que existe una altura máxima de salto con pértiga que un humano no podrá jamás franquear: los siete metros de altura

También la pértiga es clave en el razonamiento anterior, aunque no la hayamos nombrado: hemos supuesto como hipótesis que transforma toda la velocidad de la carrera (horizontal) es velocidad vertical (de la energía potencial). Esta transformación se realiza gracias a la elasticidad de la pértiga. En concreto, la energía cinética de la carrera se almacena en energía elástica de deformación de la pértiga, que luego se usa transformándose en energía potencial. Si la pértiga no disipa energía, la conservación de la energía en cada una de las etapas conduce a la igualdad entre la energía cinética de la carrera y la energía potencial que habíamos supuesto antes.

Sin pértiga, la situación cambia, y por eso hay tanta diferencia entre los récord de salto de pértiga y salto de altura. El récord de salto de altura fue establecido en 2,45 m, por Javier Sotomayor en 1993. Es 3,71m menos que el del salto de pértiga. Sotomayor mide 1,95 m y alcanza 8 m/s en su carrera. Aplicando el razonamiento anterior debería poder alcanzar los 4,72m. Pero aquí la transferencia de energía, que se realiza con el pivotamiento sobre el tobillo supone una mayor pérdida: su velocidad vertical pasó a ser de 4,6 m/s. Teniendo en cuenta esta diferencia, se obtiene 2,54 m. Además, considerando la posición de los saltadores de altura (conocida como posición Fosbury), se obtiene una altura máxima de 2,46 m, lo que no está lejos de su récord, y parece, que del límite de todos los mortales.

Caroline Cohen es investigadora postdoctoral en la Ecole Polytechnique (CNRS), y realizó su doctorado en física del deporte.

Christophe Clanet es investigador del CNRS, director del laboratorio de hidrodinámica de la Ecole Polytechnique(LadHyX) y desarrolla un grupo de investigación en física del deporte.

Café y Teoremas es una sección dedicada a las matemáticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los últimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matemáticas y otras expresiones sociales y culturales, y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar café en teoremas. El nombre evoca la definición del matemático húngaro Alfred Rényi: “Un matemático es una máquina que transforma café en teoremas”.