La reina y el caballo

El problema de las 18 fichas en un tablero de 6˟6, planteado la semana pasada, ha dado lugar a interesantes variantes y generalizaciones (ver comentarios correspondientes), como esta de Juan Zubieta: “Para el caso 4x4 se pueden colocar las fichas en los extremos de las dos primeras filas y en el centro de las dos últimas.

Para los casos en que n es par, para obtener una solución se puede copiar 4 veces cualquier solución válida para nxn. Siempre que el tablero sea al menos de 12˟12, se puede dividir cada lado en 3 de tamaño par mayor o igual a 4, de manera que las 4 esquinas y la zona central serán cuadradas, y por tanto se puede aplicar una solución válida del tamaño correspondiente; las zonas laterales, sean rectangulares o cuadradas, pueden rellenarse colocando las fichas como pintando un damero, porque no afectan a la restricción de las diagonales. Por tanto, si mi razonamiento es correcto, solo quedaría comprobar que hay alguna solución para los tamaños 6˟6 y 10˟10. Intuitivamente me parece que sí deben existir muchas soluciones”.

Así es, hay numerosas soluciones posibles. Por ejemplo, la solución antes mencionada para el caso 4˟4 (ver figura) puede servir de base para una solución (o varias) en el tablero de 6˟6 con 18 fichas, ¿puedes ver cómo?

Y a partir de una solución para el tablero de 8˟8 (que a su vez puede partir de la del tablero de 4˟4), ¿podemos hallar alguna solución para el tablero de 10˟10?

El metaproblema de las 8 reinas

Como vimos, el de las 8 reinas es la “madre” de los problemas que consisten en colocar en un tablero de ajedrez ―o similar― un cierto número de fichas iguales de manera que se cumplan determinados requisitos.

Hay 92 soluciones al problema de las 8 reinas, aunque solo 12 esencialmente distintas, pues las demás se pueden obtener por rotación y reflexión. Cada una de las 12 soluciones básicas se puede rotar 90º, 180º y 270º, con lo que tenemos 4 soluciones que, a su vez, pueden dar lugar a otras 4 por reflexión; así que tendremos 12˟8 = 96 soluciones… Pero, un momento, acabamos de ver que son 92, ¿dónde están las 4 que faltan? Sin necesidad de examinar las 12 soluciones básicas, ¿puedes deducir por qué son solo 92 unas soluciones que, teóricamente, deberían ser 96?

Los recorridos del caballo

Los caballos del ajedrez son tan populares como las reinas, si no más, a la hora de plantear problemas de colocación y movilidad sobre el damero y sus derivados de más o menos casillas. Uno de los más antiguos y famosos es el problema de los caballos de Guarini, planteado en el siglo XVI, que consiste en intercambiar, respetando las reglas del ajedrez, las posiciones de dos caballos blancos y dos caballos negros situados en las esquinas de un tablero de 3˟3, tal como se indica en la figura. ¿Cuántos movimientos son necesarios, como mínimo, para conseguirlo?

Pero el “problema del caballo” por excelencia, ampliamente estudiado por Euler y otros grandes matemáticos, consiste en hallar los recorridos de un caballo del ajedrez, en un tablero de nxn, de forma que pase una sola vez por todas las casillas. Sabemos que es posible en el tablero convencional de 8˟8 (otra cosa es hallar las soluciones), pero ¿es posible para n = 3, 4, 5, 6 y 7? Euler también estudió el problema en tableros rectangulares, como el de 3˟4.

¿Puedes hallar el recorrido de un caballo que partiendo de la casilla superior izquierda llega a la casilla inferior derecha tras haber pasado una sola vez por todas las demás?