Ecuaciones diofánticas

El primer problema de la semana pasada es fácil de resolver mentalmente, sin más que darse cuenta de que el primer pastor tiene 2 ovejas más que el segundo, y a partir de ahí un breve tanteo lleva a la solución: 7 y 5. Pero su misma obviedad lo hace adecuado como introducción a las ecuaciones de primer grado, pues si llamamos x al número de ovejas del primer pastor e y al número de ovejas del segundo, obtenemos el sencillo sistema:

x + 1 = 2(y – 1)

x – 1 = y + 1

Análogamente, el segundo problema puede servir de introducción a las ecuaciones diofánticas, es decir, aquellas que han de tener soluciones enteras. Si llamamos x al número de ovejas con las cuatro patas e y al número de ovejas cojas, tenemos que 4x + 3y = 59, y además sabemos que hay varias ovejas cojas y que su número es inferior al de ovejas enteras, lo cual limita las soluciones posibles a una. ¿Cuántas ovejas hay en total?

Y el tercer problema nos lleva de las ecuaciones de primer grado a las de segundo: puesto que el precio en euros de una oveja es igual al número de ellas, que llamaremos x, el hato se ha vendido por x² euros. Como el hermano mayor cobra un billete de 10 euros más que el menor, el número de billetes recibidos es impar, o sea, de la forma 2n + 1 (siendo n un número natural), y como además han recibido un pico en monedas de 1 euro, tenemos que x² = 10(2n + 1) + m, siendo m un número natural menor que 10; por lo tanto, x² tiene un número impar de decenas. Si desglosamos x en sus decenas y unidades, podemos ponerlo en la forma x = 10y + z, con z<10, de donde x² = 100y² + z²+ 20yz = 20(5y² + yz) + z² . Y puesto que x² tiene un número impar de decenas, lo mismo ha de ocurrir con z²; pero z es un número de una sola cifra, y los únicos cuyos cuadrados tienen decenas impares son 4 y 6: 4² = 16, 6² = 36. En ambos casos los cuadrados terminan en 6, luego el pico que se llevó el hermano menor es de 6 euros, y como el mayor se llevó el último billete de 10, le tiene que dar 2 euros a su hermano para que ambas partes sean iguales.

El testamento del jeque

Nuestro comentarista habitual Juan José Rodríguez trajo oportunamente a colación un clásico de los acertijos diofánticos:

Un jeque deja en herencia a sus tres hijos 17 camellos, que, según reza su testamento, deberán repartirse del siguiente modo: el hijo mayor se llevará 1/2 del rebaño, el mediano 1/3 y el menor 1/9. Como 17 no es divisible, los tres hermanos están perplejos sin saber qué hacer. En eso llega un mulá montado en su camello y, al enterarse de su problema, les dice:

—No os preocupéis, yo os doy mi camello para que podáis efectuar el reparto, pues 18 es divisible por 2, por 3 y por 9.

—No podemos aceptarlo, sabio y generoso mulá —replican los hermanos, pero él insiste:

—Alá es más sabio y premiará mi generosidad.

Así que el mayor se lleva la mitad de los 18 camellos, o sea, 9, el mediano un tercio, o sea, 6, y el menor un noveno, o sea, 2. Y sobra el camello del mulá, que vuelve a montar en él y sigue su camino. ¿Cuál es la explicación de esta curiosa anécdota? Otrosí: ¿se respeta estrictamente la voluntad del jeque o la solución del mulá se aparta de ella de alguna manera?

Y puesto que llevamos un buen rato hablando de ecuaciones, la metapregunta de rigor: ¿qué es una ecuación? ¿Cómo la definirías con una sola palabra? ¿Cómo la visibilizarías con un símil físico?

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