Teselaciones posibles e imposibles

La paradoja implícita en la afirmación de que un número es “poco interesante”, mencionada la semana pasada en relación con la famosa anécdota de Hardy y Ramanujan, es la siguiente: supongamos que algunos de los números naturales (enteros y positivos) son interesantes -porque poseen alguna propiedad distintiva- y otros no; el menor de los segundos tendría la propiedad distintiva de ser el primero de los no interesantes, y eso lo volvería interesante, por lo que habría que pasarlo al otro grupo. Pero entonces habría un nuevo no interesante que sería el menor de ellos… Y de este modo, uno tras otro, todos los no interesantes acabarían en el grupo de los interesantes.

En cuanto al mínimo rectángulo sin líneas de fractura que se puede formar con dominós es el de 6x5, como el de la figura adjunta (invito a mis sagaces lectoras/es a descubrir otras composiciones, ya sea con fichas de dominó o en una hoja de papel cuadriculado). Sobre la imposibilidad de componer un cuadrado de 6x6 sin líneas de fractura, Manuel Amorós comenta lo siguiente:

“La primera observación que haría es que, si una línea atraviesa alguna ficha, lo hará, por cuestión de paridad, a un número par de ellas (ya que para llenar una fila o columna lo tienes que hacer con un número cualquiera de fichas en su dirección y un número par en la dirección transversal). Eso significa que cada línea que atraviese fichas atravesará al menos 2 de ellas. Como en total tenemos 10 líneas (5 horizontales y 5 verticales), al menos 20 fichas deberían ser atravesadas en el supuesto de que todas lo fuesen alguna vez. Pero esto es imposible, dado que solo hay 18 fichas. Luego debe haber alguna línea que no cortará ninguna ficha”.

Otro asiduo comentarista, Luca Tanganelli, ha aportado una elegante prueba constructiva de que todo cuadrado de lado par mayor que 6 es teselable sin fracturas:

“Suponemos que es posible para (2n)x(2n). Entonces en torno a dicho cuadrado se colocan fichas como muestra la imagen. Lo importante es la esquina final superior derecha. Entonces el cuadrado resultante será de 2(n+2)x2(n+2) y sin fracturas. Lo que hay que hacer es simplemente hallar un cuadrado de 8x8 y otro de 10x10 para así cubrir todos los casos posibles mediante la inducción, pero tales cuadrados no son difíciles de encontrar”.

Y Salva Fuster envía la siguiente generalización:

“Me parece que esta imagen captura la generalización para cualquier tatami nxm, siendo n impar mayor o igual que 5 y m par mayor o igual que 6. Y lo mismo se podría hacer para el caso del tatami con ambos lados pares. Quizá haya alguna manera más sencilla de verlo, pero creo que con la siguiente imagen ya se ve claro cómo hacerlo. La clave es el tatami 5x6 y cómo extender uno de los lados, o ambos simultáneamente, repitiendo el patrón”.

Pasando de los dominós a los trominós, en la figura vemos una forma de recubrir un tablero de ajedrez (o sea, de 8x8) con 21 trominós rectos dejando, obviamente, una casilla sin cubrir, ya que 64 no es divisible por 3.

Pero ¿y si la casilla sin recubrir es otra? ¿En qué otros lugares -además del mostrado en la figura- puede quedar la casilla sin cubrir? Concretamente, ¿podemos recubrir con 21 trominós rectos un tablero de ajedrez al que le hemos amputado una de las esquinas?

Este último rompecabezas puede considerarse una variante de un clásico de los problemas de paridad que pide recubrir con 31 fichas de dominó un tablero de ajedrez al que se le han quitado las casillas de dos esquinas opuestas; un acertijo sobradamente conocido, pero de obligada mención en este contexto.

Carlo Frabetti es escritor y matemático, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado más de 50 obras de divulgación científica para adultos, niños y jóvenes, entre ellos ‘Maldita física’, ‘Malditas matemáticas’ o ‘El gran juego’. Fue guionista de ‘La bola de cristal’.

Puedes seguir a MATERIA en Facebook, Twitter e Instagram, o apuntarte aquí para recibir nuestra newsletter semanal