Infinito, la fuente de paradojas matemáticas

En su libro Historia de Infinito, José A. Prado-Bassas, investigador de la Universidad de Sevilla y divulgador, presenta el desarrollo del concepto matemático como una lucha épica a lo largo de los siglos. Comienza el texto con una advertencia “La locura del infinito es un estado del alma que, una vez que te hechiza, nunca te abandonará”. Este rasgo amenazador de la inmensidad hizo que los matemáticos la rehuyeran durante siglos. Incluso en el siglo XX todavía había investigadores de gran reputación que negaban su existencia.

La primera referencia al infinito la encontramos en la explicación del origen del universo de Anaximandro de Mileto (611-546 a. C.). El apeiron es el todo, lo ilimitado, y da origen a nuestro universo. Unos años después, Zenón de Elea planteó el primer problema derivado del infinito: la famosa paradoja de Aquiles y la tortuga. Según esta, Aquiles se enfrenta con una tortuga en una carrera. Al empezar, la tortuga parte de cierta ventaja; al paso del tiempo, cuando Aquiles ha alcanzado el punto inicial de la tortuga, esta se ha movido un poco, así que sigue por delante. Cuando llega a este segundo punto, la tortuga de nuevo ha avanzado, y va ganando. Así pasa siempre: cuando Aquiles llega al punto en el que estaba la tortuga, esta ya se ha movido y, por tanto, nunca la alcanza. En ese momento era impensable pensar que se podría dividir infinitamente un periodo de tiempo finito. O, lo que es lo mismo, que una serie infinita tomara un valor finito.

Este tipo de incomodidad fue la que seguramente llevó a Aristóteles (384-322 a. C.) a atenuar la idea de infinito. Propone un infinito potencial, es decir, una cantidad que es finita en cada momento, pero ilimitada, ya que puede aumentar indefinidamente. Y rechaza el infinito actual, un infinito que lo es en todo momento, como el conjunto de los números naturales. Para ello, se basa en uno de los axiomas del pensamiento griego: el todo es mayor que cualquiera de sus partes. Un conjunto infinito incumpliría esta propiedad: al dividirlo en partes, al menos alguna de ellas seguirá siendo infinita.

La influencia de Aristóteles se alargó durante siglos y está presente en el tratado ‘Elementos’ de Euclides. El sabio griego evitó el uso de la palabra infinito en sus demostraciones y su concepción era la misma que la de Aristóteles: algo ilimitado, pero finito en cada momento.

Habitualmente es como se suele imaginar el infinito: como algo enorme, sin límites. Pero el infinito también está presente en el otro extremo, el de lo infinitésimo, lo más pequeño que cualquier otra cantidad. Y fue en este contexto donde llegó la revolución de lo infinito. El primero en pensar en estos términos fue Arquímedes, que propuso el llamado método de exhausción para calcular el área encerrada en una parábola, el área de la esfera y también para aproximar el número Pi y que es predecesora del cálculo diferencial, propuesto por Newton y Leibniz siglos después.

El libro de Prado-Bassas concluye con un capítulo dedicado al concepto de biyección: una herramienta matemática que permite establecer una correlación entre dos conjuntos y, así, compararlos. El matemático Georg Cantor la usó para clasificar los conjuntos infinitos, ya que, como demostró, existían en diferentes tamaños. También a través de las biyecciones Richard Dedekind (1831-1916) sugirió, unos años antes, la primera definición abstracta del infinito, que no recurría a una comparación con los números naturales: es aquel conjunto en el que alguna de sus partes tiene el mismo tamaño que el total, es decir, se puede definir una biyección entre ellos. De esta manera sucede, por ejemplo, entre el conjunto de los números naturales y el de los números pares, que es una parte del primero. Podemos asignar a cada número natural su doble, que será un número par, y a cada par su mitad, que es un número natural.

Por tanto, los conjuntos infinitos son, precisamente, los que contradicen el axioma griego de que el todo es mayor que sus partes, lo que genera, para tormento de matemáticos, numerosas paradojas. Así lo afirma el matemático y filósofo Bernard Bolzano (1781-1848): “la mayoría de los enunciados paradójicos que se encuentran en el dominio de las matemáticas son proposiciones que contienen inmediatamente la idea del infinito”.

Ágata Timón G Longoria es coordinadora de la Unidad de Cultura Matemática del ICMAT

Café y Teoremas es una sección dedicada a las matemáticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los últimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matemáticas y otras expresiones sociales y culturales y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar café en teoremas. El nombre evoca la definición del matemático húngaro Alfred Rényi: “Un matemático es una máquina que transforma café en teoremas”.

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