Tres joyas matemáticas de Joseph Bertrand

Joseph Louis François Bertrand (1822-1900), durante muchos años miembro y secretario de la prestigiosa Academia de Ciencias de París, no es de esos matemáticos que se inmortalizan en gran formato para adornar las paredes de facultades y departamentos y es inusual que sus colegas matemáticos actuales conozcamos retazos de su biografía. Sin embargo, su nombre está ligado a algunos enunciados bien conocidos por los profesionales, uno de ellos, incluso, por un público amplio. Es el postulado de Bertrand que afirma que entre un número y su doble siempre hay al menos un primo. Por ejemplo, entre 2023 y 4046 está el 2027 y otros muchos.

Bertrand enunció su conjetura en 1845 en un trabajo sobre simetrías de funciones, dentro de lo que hoy llamaríamos teoría de grupos. Pafnuty Chebyshev la demostró siete años después y, es más, probó que la cantidad de primos entre un número arbitrariamente grande y su doble aumenta sin límite. Por ejemplo, entre 100 y 200 solo hay 21 primos y entre 1000 y 2000 ya hay 135. La prueba de Chebyshev, un poco complicada, fue simplificada magistralmente en 1932 por el singular matemático Paul Erdős. Un punto fundamental en su demostración es el hecho de que el producto de los n primeros números divide siempre a los n siguientes. Por ejemplo, 1·2·3·4=24 divide a 5·6·7·8=1680. Por tanto, los primos entre n y 2n siempre aparecerán como factores en el cociente. También Srinivasa Ramanujan dio una prueba del postulado de Bertrand, aunque es menos elemental y elegante que la de Erdős.

Nuestros conocimientos actuales sobre la distribución de los números primos permiten ir mucho más allá. Si consideramos un número real α mayor que 1 y menor que dos, a partir de cierto número n sabemos que entre n y αn siempre habrá un primo. Por ejemplo, para α = 1.00025 no hay primos entre 80000 y 80020 = 80000α, pero se puede asegurar que los habrá entre n y αn para n mayor que 400000. Por otro lado, los recientes avances debidos a James Maynard, que le han valido la medalla Fields de 2022, implican que es posible encontrar esporádicamente muchos primos acumulados en intervalos realmente pequeños.

Otra curiosa contribución de Bertrand es la conocida como paradoja de Bertrand, una simple y bella paradoja probabilista que parece desafiar el poder de las matemáticas para proporcionar soluciones sin ambigüedad. Consideramos un triángulo equilátero, apuntando hacia arriba, y su circunferencia circunscrita (la que pasa por sus tres vértices). El problema consiste en hallar la probabilidad de que una cuerda (un segmento que une dos puntos de la circunferencia) escogida al azar sea más larga que el lado del triángulo.

Una solución consiste en razonar diciendo que la cuerda siempre se podía girar para que partiese del vértice superior. El triángulo divide a la circunferencia en tres arcos similares de 120° y que la cuerda sea mayor que el lado equivale a que termine en el arco bajo la base, por tanto, la probabilidad buscada es ⅓. Otra solución se obtiene si giramos la cuerda hasta situarla bajo el centro y paralela a la base. Será más larga que la base, justo cuando corte a la mitad superior del radio perpendicular a ella, lo que conduce al resultado ½.

Bertrand obtuvo una tercera solución en su trabajo y hay otras. Escapar de esta paradoja pasa por entender que es necesario precisar matemáticamente qué significa “al azar” cuando se formula el problema, porque hay infinidad de formas de hacerlo. En 1933, Andréi Kolmogórov sentó las bases de la teoría de probabilidad moderna estableciendo unos axiomas, unos requisitos mínimos, que deben satisfacer todos los modelos de probabilidad sea cual sea la situación en que se apliquen. Las diferentes soluciones en la paradoja corresponden a sendos modelos.

Por último, Bertrand también tiene un teorema con su nombre. Todos sabemos que la fuerza de la gravedad es atractiva e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia. Mediante compleja magia matemática, esto implica que un planeta siempre gira alrededor de un sol masivo siguiendo una órbita elíptica (es la primera ley de Kepler). La elipse es recorrida de manera no uniforme, el planeta avanza más rápido cuanto más cerca está de su sol situado en uno de los focos; sin embargo, el movimiento es periódico: en un tiempo constante, un año en el caso de la Tierra, se vuelve al punto de partida y se repite el movimiento, lo que propicia una precisión de relojero en el estudio del Sistema Solar, sobre todo al incorporar correcciones debidas a perturbaciones mutuas.

Supongamos que en un hipotético universo los soles atraen a los planetas con una fuerza de la gravedad diferente de la habitual, ¿es todavía posible que todas las órbitas planetarias sean periódicas? El teorema de Bertrand da una respuesta completa: lo son cuando son elipses y esto ocurre únicamente cuando la fuerza gravitatoria es la habitual o proporcional a la distancia, el tipo de fuerza que aparece al estirar un muelle (ley de Hooke). Curiosamente, Isaac Newton ya consideró en sus Principia esta segunda posibilidad. Mostró que corresponde a que el sol esté en el centro de la elipse, en vez de en un foco.

Si ensoñamos otro tipo de fuerza gravitatoria atractiva que solo dependa de la distancia, por ejemplo, inversamente proporcional a ella, el teorema de Bertrand asegura que las órbitas no van a ser en general periódicas. En realidad, la relatividad general proporciona una modificación efectiva de la gravitación original que contribuye a la precesión del perihelio de Mercurio.

Sirvan estos tres bellos enunciados asociados a Bertrand para recordar, con un año de retraso, el bicentenario del nacimiento, un 11 de marzo, de un matemático no tan conocido, pero que ostenta el singular honor de unir su nombre a un postulado, una paradoja y un teorema.

Fernando Chamizo es profesor de la Universidad Autónoma de Madrid y miembro del Instituto de Ciencias Matemáticas

Café y Teoremas es una sección dedicada a las matemáticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los últimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matemáticas y otras expresiones sociales y culturales y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar café en teoremas. El nombre evoca la definición del matemático húngaro Alfred Rényi: “Un matemático es una máquina que transforma café en teoremas”.

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