El premio Abel reconoce a dos pioneros de la interacción entre probabilidad y álgebra

Los matemáticos Hillel Furstenberg y Gregory Margulis han sido los ganadores del premio Abel 2020. Se les concede “por ser pioneros en el uso de métodos probabilísticos y dinámicos en las áreas de teoría de grupos, teoría de números y combinatoria.” Lo cierto es que Furstenberg y Margulis nunca han trabajado juntos; es más, ni han vivido en el mismo continente simultáneamente.

Margulis (1946, Moscú) trabajó toda su juventud bastante aislado del resto de la comunidad matemática, víctima de la discriminación que ejercía la Unión Soviética sobre los judíos en esos tiempos. La situación llegó al extremo cuando, en 1978, la Unión Matemática Internacional le concedió la medalla Fields y el Gobierno no le concedió un visado para ir a Helsinki y aceptarla en persona.

Furstenberg también es judío, de hecho es el primer israelí que recibe el premio Abel. Nació en Berlín en 1935, en medio de la ocupación nazi, pero con solo tres años, después de la Noche de los Cristales Rotos, huyó con su familia a los Estados Unidos, donde desarrolló los primeros años de su carrera.

Furstenberg y Margulis, de manera independiente, utilizaron ideas y técnicas probabilísticas similares para estudiar el mismo tipo de objetos matemáticos. No es la primera vez, ni será la última, que varios investigadores descubren el poder de las mismas ideas de manera paralela y en el mismo periodo de tiempo. Quizás el ejemplo más famoso es el del cálculo diferencial, desarrollado simultáneamente en Inglaterra por Isaac Newton y en Alemania por Gottfried Leibniz. A diferencia de aquella agria disputa, es bonito y justo que el premio Abel de este año haga un reconocimiento compartido a dos personas que contribuyeron a desarrollar la matemática con el mismo tipo de ideas revolucionarias.

Las técnicas que Margulis introdujo en su demostración siguen siendo muy importantes hoy en día. Y, sorprendentemente, permitieron descubrir nuevas e importantes propiedades de los grupos de matrices

Uno de los teoremas más famosos de Furstenberg trata sobre los caminos aleatorios en grupos infinitos de matrices. Para entender la noción de camino aleatorio, imaginemos que tenemos un dado (equilibrado) de cuatro caras y un papel cuadriculado (de dimensión 2), infinito. Cada una de las caras del dado representa un movimiento: hacia arriba, abajo, izquierda o derecha. Empezamos en un cuadrado de la libreta, y seguimos el movimiento que van marcando los sucesivos lanzamientos del dado. El resultado es un camino aleatorio.

El matemático George Polya ya sabía, en los años 1930, que un camino así volvería al punto inicial un número infinito de veces, con un 100% de probabilidades. Sin duda, es posible (aunque improbable) que los lanzamientos del dado dicten que la marcha vaya a la derecha para siempre. Esto no contradice la conclusión de Polya, pues si consideramos todos los caminos, es decir todas las posibilidades de movimientos con el mismo punto inicial, la probabilidad de que uno regrese al punto inicial (un número finito de veces) es 0. Polya también sabía que, sin embargo, si repetimos el mismo experimento en una cuadrícula de dimensión 3, la probabilidad de volver al punto inicial un número infinito de veces es 0. Así, el camino aleatorio es capaz de detectar la diferencia entre dimensión 2 y 3.

Furstenberg consideró estos caminos aleatorios no en una cuadrícula, sino en espacios de matrices. La idea es parecida: tomamos un conjunto finito de matrices, por ejemplo, seis matrices A,B,C,D,E, F; y un dado de seis caras, en cuyas caras están escritas la letras A,B,C,D,E,F. Así vamos lanzando el dado y multiplicando matrices de la siguiente manera: por cada lanzamiento multiplicamos la matriz que dicta el dado (a la izquierda) del producto acumulado de las matrices anteriores. Aquí es muy importante el orden, ya que la multiplicación de matrices no es conmutativa. Como el producto de matrices es de nuevo un matriz, de esta forma, los lanzamientos dan una secuencia de matrices, lo que configura un camino aleatorio dentro del espacio de matrices. Furstenberg estudió su avance y comprobó que, a diferencia de lo que sucedía en la cuadrícula, los caminos aleatorios siempre se alejan y llegan a una frontera asociada a ese conjunto finito de matrices: la frontera Furstenberg-Poisson.

Por su parte, uno de los teoremas más conocidos de Margulis describe la súper-rigidez de retículos de matrices. Es un resultado de la zoología de los llamados grupos de Lie, que demuestra que cualquier grupo está esencialmente determinado por su esqueleto. Las técnicas que Margulis introdujo en su demostración siguen siendo muy importantes hoy en día. Y, sorprendentemente, permitieron descubrir nuevas e importantes propiedades de los grupos de matrices.

No es la primera vez, ni será la última, que varios investigadores descubren el poder de las mismas ideas de manera paralela y en el mismo periodo de tiempo

Una propiedad de grupos que Margulis utilizó mucho en sus trabajos sobre grupos es la llamada propiedad (T). En 1973, la empleó para ofrecer una construcción explícita de grafos expanders. Un grafo expander es una secuencia de grafos finitos que son uniformemente eficientes y robustos. Imaginemos que una empresa quiere conectar 100 ordenadores entre sí. Lo ideal sería que cada ordenador esté solamente conectado con otros pocos terminales; pero que además sea muy difícil desconectar todo el sistema, es decir, que no haya dos partes grandes separadas por pocas conexiones. Si lo conseguimos, el resultado sería un grafo eficiente (es la primera propiedad indicada) y robusto (la segunda).

El matemático George Polya ya sabía, en los años 1930, que un camino así volvería al punto inicial un número infinito de veces, con un 100% de probabilidades

Antes del trabajo de Margulis, se sabía que si se conectan los vértices de un grafo de forma aleatoria el resultado será eficiente y robusto, con una probabilidad que tiende a 1, cuando el número de vértices crece al infinito. Es decir, la empresa podría conectar los ordenadores al azar y comprobar si ha tenido suerte. Pero probar con todas las combinaciones, solo de 100 ordenadores, requiere cálculos de magnitudes astronómicas. La construcción explícita de Margulis te dice exactamente cómo hacerlo.

Tanto las matemáticas de Furstenberg como las de Margulis utilizan ideas de áreas diferentes y de formas muy sorprendentes para concluir sus teoremas. Leer sus pruebas es como ver una película de suspense, con sorpresas y conexiones inesperadas en cada página.

Yago Antolín es profesor titular de la Universidad Complutense de Madrid y miembro del ICMAT

Talia Fernós es profesora de la Universidad de Carolina del Norte en Greensboro (EE UU).

Café y Teoremas es una sección dedicada a las matemáticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los últimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matemáticas y otras expresiones sociales y culturales y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar café en teoremas. El nombre evoca la definición del matemático húngaro Alfred Rényi: “Un matemático es una máquina que transforma café en teoremas”.

Edición y coordinación: Ágata A. Timón García-Longoria (ICMAT)

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