Matemáticas inspiradas por la teoría de cuerdas

Estamos en una pequeña oficina, de luz deficiente y abarrotada de pizarras blancas apoyadas contra paredes, puertas y ventanas. Dos físicos teóricos miran intensamente una complicada ecuación escrita a mano en una de ellas, mientras suena Eye of the Tiger. En esta escena de la serie Big Bang Theory, donde un teórico de cuerdas y un cosmólogo colaboran para desvelar los misterios de la materia, falta un ingrediente importante: un matemático, no solo aportando el lenguaje adecuado, sino también tomando buenas notas.

Efectivamente, las matemáticas son la principal herramienta de trabajo de los físicos teóricos para avanzar en su conocimiento de la naturaleza. Un ejemplo es el uso del cálculo diferencial en la física newtoniana o, más recientemente, la formulación de la teoría de la relatividad general de Einstein, donde el espacio y el tiempo se funden en un único ente, a través de la complicada geometría de los espacios curvos. No obstante, la influencia sucede en ambas direcciones y una teoría física, surgida hace aproximadamente 40 años, ha logrado captar la atención y el interés de los matemáticos más abstractos. Hablamos de la teoría de cuerdas.

Esta teoría fundamental, propuesta en los años 1970 por Jöel Scherk y John Henry Schwarz, unifica la gravedad con las otras fuerzas y podría dar solución al problema de combinar la gravedad con la teoría cuántica. Para ello, se basa en objetos unidimensionales o “cuerdas”, en lugar de partículas puntuales, cuyos modos de vibración singularizan los diferentes constituyentes del universo conocido. Paralelamente, Pierre Ramond, Andrè Neveu y John Henry Schwarz propusieron una modificación de la teoría que alberga supersimetría y que permite la presencia de ciertas partículas, conocidas como fermiones. Esta versión de supercuerdas requiere la existencia de seis dimensiones adicionales al espacio-tiempo cuatridimensional que observamos, enrolladas en formas compactas de un tamaño diminuto.

La forma geométrica de este espacio interno ha de ser muy particular, ya que debe permitir la buena vibración de las cuerdas fundamentales en el espacio total de diez dimensiones. En la década de 1980 Philip Candelas, Gary T. Horowitz, Andrew Strominger y Edward Witten caracterizaron la interesante forma de estos espacios internos. Y dieron, precisamente, con unas geometrías cuya existencia teórica había demostrado diez años antes el matemático y medallista fields S.-T. Yau. Son los llamados espacios o variedades Calabi-Yau.

Basándose en esta relación, el prisma de la teoría de cuerdas ha permitido abordar diversos problemas matemáticos; el primero, una cuestión de geometría enumerativa. Este tipo de problemas se remontan al griego Apolonio de Perga (262 a. C. – 190 a. C.), que se preguntó: dada una configuración de tres círculos disjuntos en el plano, ¿cuantos círculos son tangentes a estos tres dados?

Un problema de naturaleza similar interesó a los geómetras algebraicos desde el siglo XIX. En el problema anterior, se reemplaza el plano por un espacio algebraico, los círculos dados por puntos y los círculos que contamos por esferas con un cierto grado d asociado. La pregunta entonces es: ¿Cuántas esferas de grado fijo d, pasando por los 3d -1 puntos, contiene dicho espacio? Cuando este espacio es Calabi-Yau, el problema se conoce como la conjetura de Clemens. En la variedad Calabi-Yau más simple hay un total de 609 250 esferas de grado 2, según calculó el matemático Sheldon Katz en 1986.

Para total sorpresa de la comunidad matemática, en 1991 un equipo de cuatro físicos –Philip Candelas, Xenia De La Ossa, Paul Green, y Linda Parkes– llevó a cabo un cálculo que predecía el número de esferas de diferente grado d en un espacio Calabi-Yau. La complicada serie de cantidades de esferas, que había permanecido inaccesible para los cálculos matemáticos, se podía codificar en una elegante función que medía la probabilidad de propagación de una cuerda.

El desarrollo posterior de estas ideas ha dado lugar a todo un campo de estudio en matemáticas conocido como simetría especular, con importantes problemas abiertos como las conjeturas homológicas de simetría especular, formuladas por el matemático y medallista Fields Maxim Kontsevich.

Otro problema matemático en cuya solución fueron clave herramientas provenientes de la teoría de cuerdas es la conjetura de Poincaré, resuelta por el matemático ruso Grigori Perelman, lo que le valió en 2006 la distinción de la Medalla Fields (que rechazó). El problema trata sobre la clasificación de los espacios tridimensionales compactos. Para ello, Perelman desarrollo una nueva técnica, basada en ideas previas de Richard Hamilton y conocida como flujo de Ricci con cirugía, que permitía modificar estos espacios, a la vez que implementaba ciertos cortes y pegados, para descomponerlos en otros más elementales y así poder clasificarlos.

Tanto la ecuación de modificación del espacio que usó Perelman como la energía que permitía detectar el momento preciso en que realizar cada cirugía eran bien conocidos en teoría de cuerdas: se correspondían con el llamado flujo de renormalización y la acción efectiva, que permite describir la física observada en cuatro dimensiones, a partir de un modelo de cuerdas de diez dimensiones.

Estas ideas se continúan desarrollando en el llamado flujo de Ricci generalizado, recogido en un libro recientemente publicado por la American Mathematical Society. De acuerdo con una propuesta del matemático Jeffrey Streets, esta teoría puede tener futuras aplicaciones en la clasificación de una importante clase de espacios de dimensión cuatro, las superficies complejas.

Estos son solo algunos ejemplos de cómo, pese a que a lo largo de los años el interés físico en la teoría de cuerdas ha ido mermando –principalmente por su falta de carácter predictivo y porque algunos de sus postulados, como la supersimetría, no han sido observados experimentalmente–, la teoría continúa teniendo un gran valor para las matemáticas. Bien como fuente de inspiración para nuevos problemas, cuya solución requiere el desarrollo de nuevas líneas de pensamiento matemático o incluso teorías completas, o bien por su capacidad de hacer predicciones exactas sobre los problemas matemáticos más abstractos.

Mario García Fernández es investigador en la Universidad Autónoma de Madrid y miembro del Instituto de Ciencias Matemáticas (CSIC-UAM-UCM-UC3M)

Ágata Timón G. Longoria es coordinadora de la Unidad de Cultura Matemática del Instituto de Ciencias Matemáticas

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