Jacques Tits, una vida consagrada al edificio de las matemáticas

El pasado 5 de diciembre falleció Jacques Tits, uno de los matemáticos más influyentes de la segunda mitad del siglo XX. Sus trabajos revolucionaron la manera de entender los grupos, unos objetos centrales en el álgebra, que encapsulan la idea de simetría. Este nuevo punto de vista permitió establecer nuevos puentes entre la geometría y el álgebra, dando lugar al inicio de la geometrización de la teoría de grupos. Las contribuciones matemáticas de Tits fueron reconocidas en 2008 con el Premio Abel, el máximo galardón en matemáticas junto con la Medalla Fields.

Tits nació en Uccle (Bélgica) en 1930. Hijo de matemático, desarrolló una pasión y habilidad inusitadas por las matemáticas desde una edad muy temprana. A los 14 años se matriculó como estudiante de Matemáticas en la Universidad Libre de Bruselas, donde también completó sus estudios de doctorado a la edad de 20 años. Su director de tesis, Paul Libois, fue un reconocido intelectual marxista, político y gran defensor de la intuición geométrica como vehículo de aprendizaje matemático.

Tras ocupar puestos de profesor universitario en Bruselas y Bonn, en 1974 obtuvo la Cátedra de Teoría de Grupos en el prestigioso Collège de France (París). Durante estos años, adquirió la nacionalidad francesa y fue elegido miembro de la Academia de Ciencias de Francia.

La investigación de Tits se enmarca dentro de la teoría de grupos. Un grupo es la traducción del concepto de simetría al lenguaje matemático. Por ejemplo, un cuadrado tiene ocho simetrías distintas: cuatro rotaciones basadas en el centro del cuadrado y cuatro reflexiones a lo largo de líneas que pasan por el centro del cuadrado. Este conjunto de simetrías tienen tres propiedades fundamentales: hay una simetría identidad (la rotación de cero ángulos), que deja el cuadrado tal cual estaba; toda simetría se puede deshacer (tiene una inversa); y, finalmente, el resultado de aplicar una simetría y después otra (multiplicarlas) es de nuevo una simetría.

Abstrayendo estas tres propiedades, en matemáticas un grupo se define como un conjunto cuyos elementos se pueden multiplicar entre sí, donde cada elemento tiene un inverso y donde hay un elemento identidad. Algunos grupos tienen un número finito de elementos, como el grupo de simetrías del cuadrado; por el contrario, otros grupos son infinitos, como el formado por los números reales distintos de cero.

Hasta finales del siglo XIX, los grupos fueron considerados primordialmente como objetos algebraicos abstractos que aparecían en el contexto de la resolución de ecuaciones polinómicas. En 1872 tuvo lugar un gran cambio de paradigma: el matemático alemán Felix Klein (1849 - 1925) anunció su Programa de Erlangen, donde proponía, por primera vez, usar la teoría de grupos para entender problemas de geometría.

La visión de Tits, aupado a su vez a hombros de gigantes como H.S.M. Coxeter (1907 - 2003), se puede considerar como una “inversión” del Programa de Erlangen, ya que propone usar herramientas geométricas para estudiar los grupos. En este sentido, una de las grandes contribuciones matemáticas de Tits, desarrollada con el matemático francés François Bruhat (1929 - 2007), es el concepto de los edificios de Bruhat-Tits asociados a ciertas familias muy generales de grupos (los llamados grupos algebraicos).

Estos edificios son objetos geométricos construidos a partir de la estructura algebraica del grupo, y que tienen como grupo de simetrías precisamente el grupo original. Como ocurre tantas veces en matemáticas, la terminología es bastante sugerente: un edificio está formado por apartamentos, constituidos a su vez por múltiples habitaciones, pegados de acuerdo a un patrón que refleja la estructura algebraica del grupo en cuestión.

Los edificios de Bruhat-Tits han sido determinantes en varios de los grandes hitos de la matemática moderna, como el estudio de los grupos de Coxeter (generalizaciones de grupos de reflexiones) o los grandes teoremas de Margulis, Prasad, etc, sobre la rigidez de ciertos subgrupos (llamados retículos) en grupos algebraicos.

Como es lógico al tratarse de un matemático de tal influencia, dejamos en el tintero la gran mayoría de las aportaciones de Tits, muchas de enorme calado, como el paradójico cuerpo con un elemento, la conocida alternativa de Tits sobre la estructura de los grupos de matrices, o sus trabajos sobre grupos de Coxeter extendidos, ahora conocidos como grupos de Artin-Tits. Además de con el Premio Abel, los trabajos de Tits fueron reconocidos con otros galardones importantes, como el Premio Wolf (1993) y la Orden Nacional de la Legión de Honor de Francia (2008). Pero sobre todo, el legado de la obra matemática de Jacques Tits pervive a través de su influencia sobre la manera de pensar de un gran número de investigadores en todo el mundo.

Yago Antolín es profesor titular en la Universidad Complutense de Madrid y miembro del Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT).

Javier Aramayona es científico titular en el Consejo Superior de Investigaciones Científicas, miembro del ICMAT y codirector de la Unidad de Cultura Matemática de ICMAT.

Café y Teoremas es una sección dedicada a las matemáticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los últimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matemáticas y otras expresiones sociales y culturales y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar café en teoremas. El nombre evoca la definición del matemático húngaro Alfred Rényi: “Un matemático es una máquina que transforma café en teoremas”.

Edición y coordinación: Ágata A. Timón G Longoria (ICMAT).

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