Matemáticas

Un puente matemático entre los billares, los gases y el algoritmo de Google

Un resultado reciente demuestra que los billares matemáticos, modelos simplificados del comportamiento de las partículas de un gas, alcanzan una apariencia aleatoria rápidamente

Para los gases, uno de los modelos más estudiados son los billares.
Para los gases, uno de los modelos más estudiados son los billares.Paul Cloutier
Pierre-Antoine Guihéneuf

A escala humana, los gases se comportan de manera bastante pacífica: en un fluido estable, de media, el desplazamiento de las partículas es cero. Sin embargo, la situación es muy diferente a escala microscópica. Si pudiéramos seguir el movimiento de una sola partícula de aire, dibujaría una trayectoria muy errática, simplemente porque no dejaría de chocarse con otras partículas. El paso de esta imagen a la descripción de la evolución global de las leyes de los gases se estudia en una rama de la física llamada mecánica estadística, y demostrar de forma rigurosa estos resultados supone un problema matemático notablemente difícil.

Una de las claves para entender el comportamiento de las partículas de un gas es la teoría del caos. El concepto de caos fue introducido a comienzos del siglo XX por el matemático Henri Poincaré. Mientras que estudiaba el movimiento de los planetas, Poincaré descubrió que pequeñas causas podían tener consecuencias enormes. Esto, de alguna manera, acabó con la corriente filosófica del determinismo, muy popular a finales del s. XIX, ya que, aunque en teoría es posible calcular de forma precisa el futuro de un sistema caótico, su sensibilidad a las medidas iniciales hace que sea impredecible en la práctica.

En aquel texto visionario, Poincaré fue un poco más allá y observó que el caos era precisamente la fuente de la aleatoriedad. Esto significaba que los fenómenos caóticos podían predecirse de forma precisa desde un punto de vista estadístico. Por ejemplo, una tirada de un dado es puramente determinista y caótica, pero queda muy bien descrita por la probabilidad básica.

Entonces, ¿sería posible describir también el comportamiento de las partículas de un gas con probabilidades? Para empezar a entender un fenómeno tan complejo, a los matemáticos les gusta jugar con lo que llaman un “modelo de juguete”, que es una configuración simplificada en la que se supone que los teoremas son más fáciles de demostrar. Para los gases, uno de los más estudiados son los billares. En este modelo se parte de una mesa de billar, con cualquier forma imaginable, en la que se tira una bola. La bola rueda sin fricción por la mesa, chocando con los lados, según determina la ley de reflexión –no se puede dar efecto a las bolas–.

La pregunta es, ¿la posición de las bolas parecerá aleatoria, tal y como sucedía antes con el dado, después de un cierto tiempo?

En este sencillo modelo, las bolas –que representan partículas de un gas moviéndose dentro de una caja con una forma concreta– siguen deslizándose sobre la mesa para siempre. La pregunta es, ¿la posición de las bolas parecerá aleatoria, tal y como sucedía antes con el dado, después de un cierto tiempo? Más concretamente, ¿es posible que después de un número de choques, la posición inicial de la bola, la dirección y la precisión del lanzamiento no ofrezcan ninguna información sobre la posición en la que queda la bola? El objetivo es determinar cuál es ese número de choques a partir del cual la posición de la bola queda bien descrita por probabilidades.

Recientemente, con la ayuda de herramientas matemáticas desarrolladas en las últimas cinco décadas, un grupo de matemáticos ha demostrado que, para toda una familia de formas de mesas, después de tan solo unos pocos choques la posición de la bola parece totalmente aleatoria. Esta propiedad es parte de la llamada hipótesis ergódica, que es el punto inicial para deducir las leyes globales de evolución de los gases a partir de modelos microscópicos.

La idea clave en la demostración anterior es emplear el teorema de Perron-Frobenius –una cuestión de matemática pura propuesta hace más de un siglo– que usa la probabilidad de transición de una parte de la tabla a otra. Sorprendentemente, este mismo teorema se puede aplicar a la estructura de la web. En este caso, la probabilidad de pasar de una página a otra depende del número de links que van de la primera a la segunda. El teorema te proporciona la distribución de probabilidad de un usuario que esté pulsando aleatoriamente links, y puede ser usada para clasificar páginas: una web será considerada importante si recibe muchas visitas de este tipo de usuarios. El algoritmo obtenido, desarrollado por Larry Page, se llama PageRank, y está en el origen del éxito del motor de búsqueda Google. De nuevo, este es otro ejemplo de la utilidad de la investigación fundamental en matemáticas, que produce herramientas aplicables tanto a la física teórica como a la creación de un gigante tecnológico.

Pierre-Antoine Guihéneuf es investigador en el Instituto de Matemáticas de Jussieu-Paris Rive Gauche de la Universidad de la Sorbona

Café y Teoremas es una sección dedicada a las matemáticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los últimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matemáticas y otras expresiones sociales y culturales y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar café en teoremas. El nombre evoca la definición del matemático húngaro Alfred Rényi: “Un matemático es una máquina que transforma café en teoremas”.

Edición y coordinación: Ágata A. Timón García-Longoria (ICMAT)

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