La paradoja de Olbers

Contrariamente a lo que nos dice la intuición, si en una hoja de papel cuadriculado ideal trazamos una recta al azar a partir de una de las intersecciones de la cuadrícula, la probabilidad de que dicha recta pase por otra intersección es nula, independientemente de lo grande que sea la hoja. En una hoja real no es así, obviamente, puesto que la recta tiene un grosor (nada despreciable si hace tiempo que no le sacamos punta al lápiz) y los puntos de intersección de la cuadrícula no son inextensos. Pero, por increíble que parezca, una recta ideal no pasaría por ningún otro punto de intersección aunque la hoja de papel cuadriculado fuera infinita.

Supongamos que trazamos la recta a partir de un punto de intersección A y que pasa por otro punto de intersección B; el segmento AB será la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos abarcarán un número entero de cuadraditos, por lo que la tangente del ángulo formado por AB con la horizontal será el cociente de dos enteros, o sea, un número racional. Pero dicho ángulo puede ser cualquiera, ya que trazamos la recta al azar, por lo que su tangente podrá tener cualquier valor real (el conjunto de los números reales abarca los racionales y los irracionales). Y como vimos al hablar del infinito, la infinitud de los irracionales es de orden superior a la de los racionales, por lo que es infinitamente improbable que la tangente del ángulo sea racional, o lo que es lo mismo, que la recta pase por otro punto de intersección.

Por más que lancemos un dado, nunca sacaremos un siete: esto es absolutamente imposible, puesto que sus caras están numeradas del uno al seis

Esto no significa que sea imposible que una recta pase por dos o más puntos de intersección de una cuadrícula, puesto que, obviamente, puede suceder: probabilidad 0 no es necesariamente lo mismo que imposibilidad propiamente dicha, del mismo modo que probabilidad 1 no es necesariamente lo mismo que certeza absoluta; por eso en teoría de la probabilidad se usa a veces la expresión “casi seguro” para la probabilidad 1 y “casi seguro que no” para la probabilidad 0. Veamos la diferencia con un ejemplo sencillo:

Por más que lancemos un dado, nunca sacaremos un 7: esto es absolutamente imposible, puesto que sus caras están numeradas del 1 al 6; sin embargo, no es absolutamente imposible que nunca salga un 5, aunque cuantas más veces lancemos el dado más se acercará a 0 dicha probabilidad.

Universo cuadriculado

A algunos lectores el problema de la cuadrícula los llevó a pensar en la paradoja de Olbers, formulada en 1823: si hay tantas estrellas en el universo, ¿por qué no vemos el cielo nocturno como una aglomeración compacta de puntos luminosos?

La astrofísica moderna permite explicar la paradoja de distintas maneras en función del modelo de universo contemplado (Mandelbrot, por ejemplo, apela a una hipotética estructura fractal del cosmos). Pero imaginemos que el universo fuera una versión tridimensional de nuestra cuadrícula, con una estrella en cada punto de intersección de una inmensa estructura cúbica (o cubicular, para ser más preciso). ¿Cómo veríamos el firmamento si viviéramos en ese universo “cubiculado”?

Carlo Frabetti es escritor y matemático, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado más de 50 obras de divulgación científica para adultos, niños y jóvenes, entre ellos Maldita física, Malditas matemáticas o El gran juego. Fue guionista de La bola de cristal.