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Una fórmula para dominarlos a todos (los poliedros convexos)

Una de las más maravillosas aportaciones de Euler a la geometría

Echa un vistazo al lugar en el que te encuentres ahora: tu habitación, el salón de tu casa, la oficina o lo que alcances a ver desde el parque o la parada de autobús en la que estés ahora mismo. Estoy casi seguro de que estés donde estés podrás encontrar algo en forma de caja (aunque no sea perfecta). Sí, una caja “de las de toda la vida”, como las típicas cajas de zapatos. Da igual si se acerca más a un cubo, también nos vale.

Ya tenemos la caja, ¿verdad? Pues ahora fíjate en ella y cuenta sus caras (los polígonos que la limitan), aristas (líneas que unen dos caras) y vértices (puntos donde se cortan varias aristas). Si la caja es de las habituales, tendrá 6 caras, 12 aristas y 8 vértices, ¿a que sí? Bien, pues ahora haz esta operación: caras – aristas + vértices. ¿Resultado? Fácil: 2.

Busca ahora una figura tridimensional de este estilo pero más compleja, con más elementos que una típica caja, pero que no tenga “entrantes” (pronto concretaremos más este punto). Si no encuentras ninguna cerca, puedes imaginar que a tu caja le quitas un pico cortando con una sierra. Visualiza mentalmente la figura que queda y cuenta de nuevo caras, aristas y vértices.

En este caso tendrías 7 caras (porque al cortar como hemos dicho has creado una cara más), 15 aristas (las anteriores y las tres del triángulo que has creado al cortar) y 10 vértices (creas tres nuevos pero eliminas uno). Ahora haz de nuevo la operación anterior: caras – aristas + vértices. ¿Cuál es el resultado? Exacto: de nuevo 2.

Si no conoces el tema del que vamos a hablar hoy, podrías pensar que esto es casualidad. Probemos con otra más, por ejemplo una pirámide como las de Egipto. Estas pirámides tienen 5 caras (las cuatro laterales y la base), 8 aristas (las cuatro de las caras laterales y las cuatro de la base) y 5 vértices (el superior y los cuatro de la base). Realizamos de nuevo la operación anterior, caras – aristas + vértices y…otra vez obtenemos 2 como resultado. Puedes probar con otras figuras, como los sólidos platónicos (uno de ellos, el cubo, es esencialmente el mismo ejemplo que la caja):

pulsa en la foto
Sólidos platónicos. Foto de Максим Пе.

Como muchos lectores habréis adivinado, el tema de hoy es la conocida como fórmula de Euler para poliedros, una de esas maravillas que muy de vez en cuando nos encontramos en matemáticas. El resultado relacionado con ella podría enunciarse así:

En un poliedro convexo con C caras, A aristas y V vértices, siempre se cumple que C – A + V=2.

Poliedro no convexo.

Un poliedro es una figura tridimensional limitada por polígonos que encierra un volumen concreto (finito), como la caja o la pirámide que hemos usado antes. Y es convexo cuando no tiene entrantes ni agujeros. Por aclarar esto un poco más, un poliedro es convexo si al unir con un segmento dos puntos cualesquiera del poliedro, dicho segmento queda completamente en el interior del poliedro.

Volvamos a la fórmula. Es conocida como fórmula de Euler porque fue el grandísimo matemático suizo Leonhard Euler quien habló sobre ella por primera vez en su trabajo Elementa doctrinae solidorum, escrito en 1750 y publicado en 1758. Euler la escribía de la forma C + V = A + 2, y se puede deducir que sabía que sólo era válida en poliedros convexos al ver que decía que se cumplía para todos los poliedros limitados por planos.

Como todo resultado matemático que pretenda mostrarse como cierto, la fórmula de Euler no tendría la validez que se le puede presuponer sin una demostración que acredite su certeza. Bien, pues en su trabajo Euler no fue capaz de dar una demostración correcta de su fórmula (dio una, pero era incorrecta). Fue Augustin-louis Cauchy quien, en 1811, dio con la primera demostración general que se conoce de la fórmula de Euler. Podéis verla en esta web. Y si os habéis quedado con ganas de más, en este enlace podéis encontrar nada menos que veinte demostraciones de la validez de la fórmula de Euler.

Antes hemos comentado que Euler fue el primero que habló sobre esta fórmula. Esto es cierto, ya que antes de 1750 no se conocía ningún escrito sobre este tema, pero esto no significa que no existiera. De hecho existía, pero nadie, salvo Gottfried Wilhelm Leibniz (uno de los fundadores del cálculo), y quizás algún estudiante más, lo sabía. La cuestión es que René Descartes había escrito el, hasta ese momento, primer tratado sobre poliedros, pero murió poco después sin publicarlo.

Tras la muerte de Descartes, parte de sus trabajos (incluido éste) fueron trasladados a Francia, y más tarde (después de mojarse al caer a un río y ser recuperados y secados) llegaron a manos de Leibniz. Éste se encargó de transcribir algunos de ellos, incluyendo el de poliedros, pero estas transcripciones no vieron la luz hasta 1860, cuando Euler llevaba ya casi 80 años fallecido. Esto significa que lo más lógico es pensar que ni Euler ni nadie de su época tuvo conocimiento de estos trabajos, por lo que se le consideró a él como el primero en tratar el tema de los poliedros.

De hecho, actualmente muchos siguen pensándolo, ya que la relación que hemos comentado de Descartes con los poliedros no es muy conocida. En lo que se refiere al tema protagonista de este artículo, Descartes llegó a un resultado relacionado con ángulos en poliedros a partir del cual es relativamente sencillo deducir la fórmula de Euler, aunque él no llegó a deducirla (que se sepa). Los interesados en los detalles de este resultado pueden consultar este enlace.

En un artículo sobre la fórmula de Euler, no podía dejar de comentar la relación de este resultado con otro más general situado en una rama de las matemáticas conocida con el nombre de Topología. Con posterioridad al trabajo de Euler, se descubrió que la fórmula que lleva su nombre es una generalización de la conocida como característica de Euler de una superficie (también conocida como característica de Euler-Poincaré), que suele denotarse con la letra griega χ y que pasa por ser un invariante topológico (esto significa que si dos superficies son topológicamente iguales, entonces tienen la misma característica de Euler). En la Wikipedia tenéis una buena introducción sobre ella.

Y para finalizar, os dejo un poco de entretenimiento. Como sabréis, los balones de fútbol, aunque son razonablemente esféricos, están formados en su superficie por pentágonos y hexágonos. ¿Se podría construir un balón habitual solamente con hexágonos (no necesariamente regulares)? Y si usamos pentágonos y hexágonos, ¿cuántos de cada tipo deberíamos utilizar para su construcción? Cuando alguien los haya resuelto en los comentarios pongo los enlaces donde los vi. Y para quien no sepa cómo meterle mano al asunto, quizás la fórmula de Euler sea una buena ayuda…