Así se hace feliz a una carita

Vicente Muñoz Velázquez, profesor de la Universidad Complutense de Madrid, resuelve el quinto desafío matemático que este verano planteamos a nuestros lectores (puede ver aquí el vídeo). Una vez realizado el sorteo entre las respuestas correctas el ganador de la colección de libros Grandes Ideas de la Ciencia ha sido Eduardo Pardo, radiofísico del Hospital Universitario Quirón de Madrid.

Para evitar confusiones y en atención también a nuestros lectores sordos incluimos la solución por escrito a continuación:

En primer lugar, vemos que apretar una casilla dos veces no tiene efecto, y apretarla un número impar de veces es equivalente a apretarla una sola vez. Por tanto, podemos limitarnos a considerar que cada casilla se puede apretar 0 o 1 veces. Esto da un total de 2^576 combinaciones posibles como patrones de apretar (el tablero tiene 576 casillas). Los posibles resultados (dibujos de luces encendidas/apagadas) son de nuevo 2^576. Por tanto, para que haya un dibujo de casillas iluminadas que no se pueda conseguir, basta con encontrar un dibujo que se pueda encontrar de dos formas distintas.

En el enunciado se da un patrón, que llamaremos A, que da como resultado la carita feliz. El simétrico de A respecto al eje vertical, lo llamamos A*, es distinto de A, pero también da la carita feliz (la clave es que A no es simétrico y la carita feliz sí lo es). Por tanto, ya tenemos dos patrones, A y A*, que dan el mismo dibujo de luces.

Para la segunda parte, nos fijamos en el patrón que se obtiene al presionar A y a continuación A* (comenzando con todas las luces apagadas). A este patrón lo llamaremos A+A* (notemos que si una casilla se aprieta dos veces, porque se apriete tanto en A como en A*, entonces es como si no se apretase). Si presionamos las casillas según A+A*, entonces quedan todas las luces apagadas, dado que al apretar A encendemos las luces de la carita feliz, y al presionar A* apagamos exactamente las mismas casillas. Llamemos B = A+A*. Entonces B es un patrón que deja el tablero completamente apagado.

Para la segunda pregunta, basta con comprobar que aquellas configuraciones de luces alcanzadas (partiendo del tablero con todas las luces apagadas) lo son de al menos dos maneras: si escribimos B = A+ A*, entonces cualquier configuración de luces que se alcance con un patrón R se alcanza también con el patrón B+R. Por tanto, no podrá haber más de (2^576)/2 configuraciones de luces que se pueden conseguir.

Nota: El juego electrónico al que alude el desafío es el conocido como Lights Out. Hay numerosas versiones del juego para tablet, móvil y ordenador.

 Uno de los problemas más interesantes es para qué valores de n son alcanzables todas las configuraciones si se juega en un tablero n x n, y cuál es la proporción de luces alcanzables. Se puede encontrar en esta tabla (cuya primera columna indica el tamaño "n" y en la segunda "m" indica que 1/m son alcanzables). Quienes estén interesados en una fórmula cerrada y en cómo obtenerla pueden encontrarla aquí.

Con este desafío se terminan los retos matemáticos que planteamos este verano. Pero solo nos despedimos de forma provisional. Pronto volveremos con más matemáticas. Muchas gracias a todos por participar