Una dura elección

Resolvemos el 29º desafío matemático de EL PAÍS con el que celebramos el centenario de la Real Sociedad Matemática Española.- El ganador es Juan Francisco Rodríguez Calvo, de Puertollano (Ciudad Real)

Ya hay solución para el vigésimo noveno desafío matemático con el que EL PAÍS celebra el centenario de la Real Sociedad Matemática Española (ver el vídeo conmemorativo).

Javier Fresán, estudiante de doctorado en Matemáticas en la Université Paris 13 Nord, propuso el problema (ver vídeo de la izquierda) y lo resuelve ahora (vídeo de la derecha).

Para este desafío se han recibido en el plazo marcado 585 respuestas, de las que el 85% eran correctas. Una vez realizado el sorteo, el ganador de una biblioteca matemática como la que entrega cada semana EL PAÍS ha sido Juan Francisco Rodríguez Calvo, de Puertollano (Ciudad Real). Este domingo, en el quiosco, por 9,95 euros con el periódico, La música de las esferas, de Rosa Maria Ros.

Recordemos el problema: consistía en calcular el porcentaje de votos necesarios para que, en unas elecciones a las que se presentan n candidatos, podamos garantizar que el ganador por mayoría lo sería también si se aplicase el método de Borda. En este último sistema de recuento, cada elector debe colocar a todos los candidatos según su orden de preferencia y a continuación se asigna un punto al candidato si está en última posición; dos, si aparece en penúltima; tres, en antepenúltima; y así sucesivamente...

La respuesta correcta al desafío es que la fracción de votos debe ser estrictamente superior a 1-1/n, o bien, si queremos expresarlo como porcentaje, al 100-100/n % de los votos. Por tanto, a medida que aumenta el número de candidatos, se requiere una práctica unanimidad. Como señalan varios lectores, el porcentaje mínimo llegaría al 100% si todos los electores fueran al mismo tiempo candidatos. Veamos a continuación la prueba.

Además del dato del problema (n candidatos), introduciremos dos nuevas variables: el número total de electores, que llamaremos E, y la cantidad de votos que recibe el ganador por mayoría, digamos v. La fracción que se desea calcular es, por tanto, v/E.

La idea de la solución consiste en examinar la situación más desfavorable para el candidato ganador. Si garantizamos que, en ese caso, también se declararía vencedor por el método de Borda, entonces tendremos la garantía de que lo hará siempre. Y la situación más desfavorable posible se produciría con estas dos condiciones:

1. Todos los electores que no han votado al ganador lo colocan en última posición en su lista.

2. Existe otro candidato al que todos aquellos que no han votado al ganador colocan en primer lugar y quienes sí lo han votado lo sitúan segundo.

Ahora solo queda contar cuántos puntos recibirán el ganador y el otro candidato según el método de Borda y plantear una desigualdad entre ambas cantidades.

Empecemos por el ganador: obtendrá n puntos por cada uno de los votantes que lo colocan en cabeza de la lista y un único punto por todos los que lo sitúan en última posición. En el primer grupo se encuentran los v votantes que lo han elegido y en el segundo el resto de los lectores, es decir, E-v personas. Por tanto, los puntos del candidato ganador según el método de Borda son vn+(E-v).

En cuanto al otro candidato, recibirá n puntos por cada uno de los E-v electores que lo han situado en primera posición y n-1 puntos de cada uno de los v votantes que han elegido al ganador, pues ellos lo sitúan en segundo lugar en su lista de preferencias. Esto da un total de (E-v)n+v(n-1) puntos.

Por tanto, para que el ganador por mayoría se declare ganador también por el método de Borda sea cual sea la configuración de las preferencias de los votantes, es preciso que se verifique la desigualdad vn+(E-v)>(E-v)n+v(n-1). Pasando el término E-v al otro lado, vemos que esto equivale a vn>(E-v)(n-1)+v(n-1)=E(n-1). Por tanto, como anunciamos al comienzo de la solución, la fracción v/E que buscamos debe ser estrictamente mayor que (n-1)/n=1-1/n. Lo que expresado como porcentaje equivaldría al 100-100/n % de los votos.

Muchos lectores han ilustrado su solución con casos prácticos, que van desde elecciones a Parlamentos autonómicos hasta el problema de la decisión de un destino para el viaje de fin de carrera. Otros muchos nos han hecho llegar sus reflexiones ante un asunto que han sentido próximo. Son los casos de Steve Wets, quien agradece desde Tailandia que el desafío le haya "abierto la mente sobre el sistema electoral"; o de Tomeu Gamundi, quien reconoce que "ha sido divertido y difícil obviar jocosas comparaciones políticas". En esta línea, y con algo más de mordacidad, Luis J. Fernández de las Heras nos indica que "este problema de aritmética electoral es tan sencillo que hasta los políticos sabrían resolverlo, con ayuda de su grupo de asesores por supuesto".

En general, la mayoría de quienes han enviado soluciones muestran su sorpresa ante el grandísimo porcentaje de apoyos requerido para que ambos métodos den siempre al mismo ganador. Iago Vaamonte Paniagua ve en ello "la utopía hecha realidad, pues basta un 1/n de indignados para vetar a un candidato según el método de Borda". También Enrique J. Fernández Pastor considera que se favorece así la "desconcentración del poder, al obligar al votante a pensar en todos los posibles candidatos".

Pero no han faltado las voces críticas con el método de Borda: Carlos Santos Ramos lo encuentra un "sistema muy poco práctico, probablemente concebido para reconciliar a unas partes de por sí irreconciliables"; mientras que Enrique Boto considera el planteamiento "demasiado exigente" ya que "es muy improbable que un ganador por mayoría quede último en las preferencias de los que no lo han votado en primer lugar y que otro candidato solo obtenga primeras o segundas posiciones". También Fernando Puente de Vera estima que "el método en bruto no es demasiado justo", por susceptible al "voto de venganza".

No quisiéramos despedirnos sin felicitar a Joaquín Montesanto, quien nos cuenta desde Málaga que ha resuelto el desafío en el hospital, con su hijo Gael recién nacido sobre su pecho, y apunta que "quizá este primer contacto con las matemáticas le haga ser un apasionado de esta ciencia como su padre". ¡Que así sea!

El jueves plantearemos un nuevo reto.

Resolvemos el 29º desafío matemático de EL PAÍS con el que celebramos el centenario de la Real Sociedad Matemática Española.- El ganador es Juan Francisco Rodríguez Calvo, de Puertollano (Ciudad Real).- El jueves plantearemos un nuevo desafío. <a href="http://www.elpais.com/articulo/sociedad/desafios/matematicos/elpepusoc/20110712elpepusoc_8/Tes">VER PLANTEAMIENTO Y RESTO DE DESAFÍOS MATEMÁTICOS</a>Vídeo: PAULA CASADO
Javier Fresán, estudiante de doctorado en Matemáticas en la <a href="http://www.univ-paris13.fr/" target="blank">Université Paris 13 Nord</a>, presenta el vigésimo noveno desafío con el que EL PAÍS celebra el <a href="http://www.rsme.es/centenario/" target="blank">centenario de la Real Sociedad Matemática Española</a>. Envía tu respuesta antes de las 0.00 horas del martes 4 de octubre (medianoche del lunes, <b>hora peninsular española</b>) a <a href="mailto:problemamatematicas@gmail.com">problemamatematicas@gmail.com</a>, entre los acertantes sortearemos una <a href="http://www.elpais.com/promociones/matematicas/" target="blank">biblioteca matemática</a> como la que cada domingo se distribuye con EL PAÍS. A continuación, para aclarar las dudas y en atención a nuestros lectores sordos, añadimos el <b>enunciado del problema por escrito</b>. Se quiere elegir a un representante entre varios candidatos. Muchos dirían que las matemáticas que intervienen en el proceso se reducen a contar el número de votos. Y, sin embargo, en cuanto se examina la situación con un poco de detalle, se ve que surgen fenómenos extraños. Imaginemos que, en unas elecciones a las que se presentan siete candidatos, uno de ellos recibe el 40% de los votos, y que el 60% restante se reparte de igual manera entre los otros seis. Sin pensarlo dos veces declaramos ganador por mayoría simple al primer candidato. Ahora bien, si pidiéramos a los votantes que dijeran no solo cuál es su candidato preferido, sino también quién es el que menos les gusta, podría darse la circunstancia de que todos aquellos que no han votado al candidato ganador lo colocasen en último lugar. Y entonces se habría declarado ganador a un candidato que es... ¡el que menos gusta por mayoría absoluta! Este fenómeno se conoce como paradoja de Borda, en honor al matemático e ingeniero francés Jean-Charles de Borda, que vivió en el siglo XVIII. Precisamente con la intención de que el resultado de las elecciones se ajustase mejor a los gustos de los votantes, Borda introdujo un nuevo método de recuento en el que cada elector coloca a todos los candidatos en orden de preferencia. Por cada votante, si el candidato está en la última posición recibe un punto; si está en la penúltima, dos; en la tercera por el final, tres; y así sucesivamente. A continuación se suman todos los puntos y se declara ganador al que más tiene. Por ejemplo, en una elección en la que cuatro personas eligen entre tres candidatos A, B y C ordenados del siguiente modo:Votante 1: A>B>C Votante 2: C>B>A Votante 3: B>C>A Votante 4: A>B>C Así, el candidato A recibe 3+1+1+3=8 puntos, B recibe 2+2+3+2=9 y C recibe 1+3+2+1=7, luego se declara ganador a B. Ahora bien, el método de Borda da un ganador que podría ser distinto del ganador por mayoría. De hecho, si solo hubiésemos tenido en cuenta el candidato preferido, el ganador habría sido A, que tiene 2 votos, en lugar de 1 como B y C. <b>Y el desafío de la semana es el siguiente</b>: supongamos que n candidatos se presentan a unas elecciones, ¿qué porcentaje de apoyos tiene que recibir como mínimo un ganador por mayoría para que podamos asegurar que también sería el ganador si el recuento de los votos se hubiera realizado según el método de Borda? <a href="http://www.elpais.com/articulo/sociedad/desafios/matematicos/elpepusoc/20110712elpepusoc_8/Tes">DESAFÍOS ANTERIORES Y SUS SOLUCIONES</a> Vídeo: PAULA CASADO

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