Un flotador biplaza

Ya hay solución para el vigésimo sexto desafío matemático con el que EL PAÍS celebra el centenario de la Real Sociedad Matemática Española (ver el vídeo conmemorativo).

María Pe Pereira, que es licenciada y doctora en Matemáticas por la Universidad Complutense de Madrid y actualmente disfruta de una beca posdoctoral de CajaMadrid en el Institut de Mathématiques de Jussieu en París, propuso el problema (ver vídeo de la izquierda) y lo resuelve ahora (vídeo de la derecha): la respuesta es un flotador para 2 personas.

Para este desafío se han recibido en el plazo marcado 318 respuestas, de las que el 81% son correctas. El ganador de una biblioteca matemática como la que entrega cada semana EL PAÍS ha sido en esta ocasión Miguel Rodríguez Gutiérrez, de Madrid. Este domingo, en el quiosco, por 9,95 euros con el periódico, La poesía de los números, de Antonio J. Durán.

Recordemos el problema: consistía en saber qué superficie se podía obtener pegando -sin retorcer innecesariamente- los lados del mismo color de la figura dada, de tal manera que el sentido de las flechas coincidiera y pudiendo deformarla todo lo necesario sin romperla: se podía estirar, contraer...

La respuesta correcta al desafío es un flotador para 2 personas (doble toro o superficie orientable de género 2, en terminología matemática), una de las superficies sin borde de la clasificación que se daba.

Veamos una solución detallada basándonos en las figuras de arriba (ver ampliación aquí). Empezamos fijándonos en que tenemos que pegar los lados violetas. En la figura 2, solo pegamos dos vértices, empujando el lado verde hacia el interior de la figura. En la figura 3, pegamos los lados violetas completos, estirando la figura hacia la derecha hasta hacerlos coincidir. En la figura 4, por comodidad, puesto que el polígono resultante tiene cuatro lados, le damos forma cuadrada. Así reconocemos más fácilmente que se obtiene un flotador o toro pegando los lados rojos y azules. En la figura 5 pegamos los lados rojos y azules para obtener un flotador. No nos podemos olvidar de las circunferencias interiores verdes, que volvemos a dibujar en la figura 6. En la figura 7, tiramos de las circunferencias verdes hacia fuera para poder enfrentarlas y pegarlas. En la figura 8, deformando un poco más la superficie y haciéndola más homogénea, reconocemos perfectamente un flotador para dos.

Aunque solo pedíamos la respuesta correcta, muchos lectores nos han enviado dibujos muy claros del proceso de construcción de la superficie. Aquí os dejamos los de Miguel Ángel Ochando (ver imagen), Sergio Guerrero (ver imagen) y Javier Castellano Colmenero (ver imagen) para que cada cual busque el que más le ayude a visualizar el resultado.

El razonamiento puede seguir otro orden o proponer otra manera distinta de visualizarlo. No hay que preocuparse siempre que se llegue al resultado: confiando en la demostración de la clasificación hecha por los matemáticos a principios del siglo XX, y que ya es todo un clásico, sabemos que no importa el orden en que peguemos los lados.

Un comentario más sobre el teorema de clasificación citado. En realidad quizás solo deformando no podamos llegar siempre a una de las superficies mencionadas, puede que aparezca como hecha un nudo en el espacio. Necesitaremos entonces cortar la superficie con unas tijeras y volver a pegar exactamente de la misma manera (si la superficie estuviera dibujada, al volver a pegar, el dibujo se recuperaría). Esto es muy distinto que romper la superficie, puesto que volvemos a pegarla de la misma manera. Por ejemplo, podemos construir un cilindro con una tira de papel pegando dos de sus lados. Pero también podríamos pegar estos mismos lados de la misma manera -conservando el dibujo o, dicho de otro modo, el sentido de las flechas- pero dando una vuelta completa a la cinta antes de pegarla. Si deformando una superficie llegáramos a este cilindro retorcido, cortando y volviendo a pegar obtendríamos el cilindro más sencillo.

Algunos lectores han aludido a la botella de Klein. Esta es una superficie que no puede construirse en el espacio tridimensional sin cortarse o intersecarse a sí misma, razón por la que deja de ser propiamente una superficie en el espacio. En particular no figura en la clasificación dada (enunciada más precisa en la versión escrita) que daba la pista sobre dónde buscar la solución.

Esperamos que todos hayáis disfrutado con el desafío topológico. El jueves plantearemos un nuevo reto.

Construyendo superficies

Un flotador biplaza