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Un flotador biplaza

Resolvemos el 26º desafío matemático de EL PAÍS con el que celebramos el centenario de la Real Sociedad Matemática Española.- El ganador es Miguel Rodríguez Gutiérrez, de Madrid.- El jueves plantearemos un nuevo desafío

Imagen correspondiente al 26º desafío matemático.
Imagen correspondiente al 26º desafío matemático.

Ya hay solución para el vigésimo sexto desafío matemático con el que EL PAÍS celebra el centenario de la Real Sociedad Matemática Española (ver el vídeo conmemorativo).

María Pe Pereira, que es licenciada y doctora en Matemáticas por la Universidad Complutense de Madrid y actualmente disfruta de una beca posdoctoral de CajaMadrid en el Institut de Mathématiques de Jussieu en París, propuso el problema (ver vídeo de la izquierda) y lo resuelve ahora (vídeo de la derecha): la respuesta es un flotador para 2 personas.

Para este desafío se han recibido en el plazo marcado 318 respuestas, de las que el 81% son correctas. El ganador de una biblioteca matemática como la que entrega cada semana EL PAÍS ha sido en esta ocasión Miguel Rodríguez Gutiérrez, de Madrid. Este domingo, en el quiosco, por 9,95 euros con el periódico, La poesía de los números, de Antonio J. Durán.

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Los desafíos matemáticos

Recordemos el problema: consistía en saber qué superficie se podía obtener pegando -sin retorcer innecesariamente- los lados del mismo color de la figura dada, de tal manera que el sentido de las flechas coincidiera y pudiendo deformarla todo lo necesario sin romperla: se podía estirar, contraer...

La respuesta correcta al desafío es un flotador para 2 personas (doble toro o superficie orientable de género 2, en terminología matemática), una de las superficies sin borde de la clasificación que se daba.

Veamos una solución detallada basándonos en las figuras de arriba (ver ampliación aquí). Empezamos fijándonos en que tenemos que pegar los lados violetas. En la figura 2, solo pegamos dos vértices, empujando el lado verde hacia el interior de la figura. En la figura 3, pegamos los lados violetas completos, estirando la figura hacia la derecha hasta hacerlos coincidir. En la figura 4, por comodidad, puesto que el polígono resultante tiene cuatro lados, le damos forma cuadrada. Así reconocemos más fácilmente que se obtiene un flotador o toro pegando los lados rojos y azules. En la figura 5 pegamos los lados rojos y azules para obtener un flotador. No nos podemos olvidar de las circunferencias interiores verdes, que volvemos a dibujar en la figura 6. En la figura 7, tiramos de las circunferencias verdes hacia fuera para poder enfrentarlas y pegarlas. En la figura 8, deformando un poco más la superficie y haciéndola más homogénea, reconocemos perfectamente un flotador para dos.

Aunque solo pedíamos la respuesta correcta, muchos lectores nos han enviado dibujos muy claros del proceso de construcción de la superficie. Aquí os dejamos los de Miguel Ángel Ochando (ver imagen), Sergio Guerrero (ver imagen) y Javier Castellano Colmenero (ver imagen) para que cada cual busque el que más le ayude a visualizar el resultado.

El razonamiento puede seguir otro orden o proponer otra manera distinta de visualizarlo. No hay que preocuparse siempre que se llegue al resultado: confiando en la demostración de la clasificación hecha por los matemáticos a principios del siglo XX, y que ya es todo un clásico, sabemos que no importa el orden en que peguemos los lados.

Un comentario más sobre el teorema de clasificación citado. En realidad quizás solo deformando no podamos llegar siempre a una de las superficies mencionadas, puede que aparezca como hecha un nudo en el espacio. Necesitaremos entonces cortar la superficie con unas tijeras y volver a pegar exactamente de la misma manera (si la superficie estuviera dibujada, al volver a pegar, el dibujo se recuperaría). Esto es muy distinto que romper la superficie, puesto que volvemos a pegarla de la misma manera. Por ejemplo, podemos construir un cilindro con una tira de papel pegando dos de sus lados. Pero también podríamos pegar estos mismos lados de la misma manera -conservando el dibujo o, dicho de otro modo, el sentido de las flechas- pero dando una vuelta completa a la cinta antes de pegarla. Si deformando una superficie llegáramos a este cilindro retorcido, cortando y volviendo a pegar obtendríamos el cilindro más sencillo.

Algunos lectores han aludido a la botella de Klein. Esta es una superficie que no puede construirse en el espacio tridimensional sin cortarse o intersecarse a sí misma, razón por la que deja de ser propiamente una superficie en el espacio. En particular no figura en la clasificación dada (enunciada más precisa en la versión escrita) que daba la pista sobre dónde buscar la solución.

Esperamos que todos hayáis disfrutado con el desafío topológico. El jueves plantearemos un nuevo reto.

María Pe Pereira, que es licenciada y doctora en Matemáticas por la <a href="http://www.mat.ucm.es/" target="blank">Universidad Complutense de Madrid</a> y actualmente disfruta de una beca posdoctoral de CajaMadrid en el <a href="http://www.institut.math.jussieu.fr/" target="blank">Institut de Mathématiques de Jussieu</a> en París, presenta el vigésimo sexto de los desafíos matemáticos con los que EL PAÍS celebra el <a href="http://www.rsme.es/centenario/" target="blank">centenario de la Real Sociedad Matemática Española</a>. Envía tu solución antes de las 00.00 horas del martes 13 de septiembre (medianoche del lunes, <b>hora peninsular española</b>) a <a href="mailto:problemamatematicas@gmail.com">problemamatematicas@gmail.com</a> y gana <a href="http://www.elpais.com/promociones/matematicas/">una biblioteca matemática</a> como la que cada semana distribuye EL PAÍS. Este domingo en el quiosco, por 9,95 euros con el periódico, <i>El sueño del mapa perfecto</i>, de Raúl Ibáñez. A continuación, para aclarar las dudas y en atención a nuestros lectores sordos, incluimos el <b>enunciado del problema por escrito</b>. El desafío de esta semana consiste en describir qué superficie se obtiene pegando los lados del mismo color de la figura plana que se muestra en el vídeo (<a href="http://www.elpais.com/fotografia/sociedad/Construyendo/superficies/elpepusoc/20110908elpepusoc_14/Ies/ " target="blank"><b>ver aquí la imagen ampliada</b></a>). Al pegar cada pareja de lados (los rojos, los azules,...etc) el sentido de las flecha debe coincidir; la circunferencia verde tiene que pegarse con la arista verde identificando el punto señalado en la circunferencia con los extremos de la arista; además suponemos que la figura está hecha de un material que podemos deformar todo lo que queramos (¡siempre y cuando no lo rompamos!). Puesto que el material del que está hecha la figura es totalmente deformable, podríamos construir muchas superficies distintas, algunas de ellas muy difíciles de describir, pero habrá una que será la más simple de todas. Veamos un <b>estudio matemático de mediados del siglo XIX que puede ayudar a dar con la solución</b>. Las superficies se clasifican en superficies con bordes, como el cilindro o la banda de Moebius, y en superficies sin bordes, como la esfera o un flotador. Los matemáticos del siglo XIX demostraron que cualquier superficie de una sola pieza, sin bordes, que no sea infinita (un ejemplo de superficie infinita sin bordes es un plano infinito) y que se pueda construir sin problemas en nuestro espacio tridimensional (sin cortarse a sí misma) se puede deformar, sin romperse, en una de las siguientes superficies: o en una esfera, o en un flotador, o en un flotador para 2 personas, o en un flotador para algún número finito de personas con un agujero para cada persona. En cuanto a las superficies con bordes, siempre se podrán deformar o en la cinta de Moebius o en una de las anteriores -la esfera, el flotador...- a la que se le ha recortado una cantidad finita de discos; o encombinaciones que no detallamos aquí de estas dos primeras posibilidades. Así por ejemplo, un pantalón se puede deformar a una esfera a la que le recortamos 3 discos. Por tanto, pegando -sin retorcer innecesariamente- los lados del mismo color de la figura de tal manera que el sentido de las flechas coincida y deformándolo todo lo que sea necesario -se puede estirar, contraer...- se puede conseguir exáctamente una de las superficies modelo que acabamos de enumerar. La pregunta es: <b>¿cuál es esa superficie?</b> <b> <a href="http://www.elpais.com/articulo/sociedad/desafios/matematicos/elpepusoc/20110712elpepusoc_8/Tes">VER LOS DESAFÍOS ANTERIORES Y SUS SOLUCIONES</a></b>Vídeo: PAULA CASADO / BERNARDO MARÍN
Resolvemos el 26º desafío matemático de EL PAÍS con el que celebramos el centenario de la Real Sociedad Matemática Española.- El ganador es Miguel Rodríguez Gutiérrez, de Madrid.- El jueves plantearemos un nuevo desafío. <a href="http://www.elpais.com/articulo/sociedad/desafios/matematicos/elpepusoc/20110712elpepusoc_8/Tes">VER PLANTEAMIENTO Y RESTO DE DESAFÍOS MATEMÁTICOS</a>Vídeo: PAULA CASADO / BERNARDO MARÍN

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