Solución al problema del piano... con sorpresa musical

Ya hay ganadora del séptimo desafío que organiza EL PAíS en el primer centenario de la Real Sociedad Matemática Española. Esta semana, la agraciada con una biblioteca matemática como la que se ofrece el domingo con EL PAÍS ha sido Alba González Parra, de Sevilla, que ha dado la respuesta correcta y además -aunque no era imprescindible para entrar en el sorteo- ha hecho una demostración impecable.

En esta ocasión se recibieron alrededor de 1.700 respuestas dentro del plazo previsto -aproximadamente las mismas que la semana pasada. Alrededor del 93% de los lectores daba la respuesta correcta y ha entrado en sorteo. El 50% del total ha dado una demostración -aunque no se exigía literalmente en el enunciado-, el 18% ha usado un programa informático -que en este caso estrictamente hablando es una demostración- y el 25% ha dado la respuesta correcta sin más explicaciones. Este domingo, el libro que se entrega con EL PAÍS, a un precio de 9,95 euros, es Prisioneros con dilemas y estrategias dominantes, de Jordi Deulofeu.

Recordemos el enunciado: partíamos de un piano gigantesco en el que tocábamos el primer Do, luego la siguiente nota (el Re), a continuación saltábamos una y tocábamos el Fa, luego saltábamos dos y tocábamos el Si, luego saltábamos tres... y así hasta pulsar 7.000 teclas. Se preguntaba: ¿Cuántas veces tocaremos el Do? y ¿Habrá alguna nota que no suene nunca en esta larguísima sinfónía?

La solución correcta es que el intérprete del piano gigantesco tocará en su concierto de 7.000 teclas la nota Do 2.000 veces y nunca pulsará el Mi, ni el Sol ni el La.

Mucha gente ha dado demostraciones, bien en lenguaje parecido al del profesor Garay (ver vídeo de la derecha) observando que saltar 7, 14, 21... teclas no tiene ningún efecto sobre la nota tocada, bien usando el lenguaje formal de congruencias. En ocasiones, usando la fórmula 1+2+...+n=n(n+1)/2, han calculado con exactitud el lugar que ocupa cada tecla tocada, aunque esto no era necesario. Pero otros lectores han seguido caminos distintos (es posible que esto incluya a muchos de los que se han limitado a dar la respuesta).

Por un lado están quienes han hecho la cuenta con un ordenador (usando Excel, Basic, C++,...). Estrictamente hablando, y dado que se trata de una situación finita, esto es una demostración, pero invitamos a quienes han optado por este camino a intentar entender el por qué del resultado. Sus cálculos son un excelente punto de partida para hacerlo.

Luego están quienes simplemente han observado que el ciclo se repetía en las 21 (o 28, o 35, o...) primeras teclas, y de ahí han deducido directamente que esta era siempre la situación y han llegado a la respuesta. En este caso acertaron, pero hay que ser consciente de que no se puede deducir que algo sea cierto en general porque sea cierto en muchos casos. Por no salirnos de las matemáticas, supongamos que queremos probar que, para cualquier entero positivo n, el número p(n)=n^2-n+41 (aquí n^2 representa n al cuadrado) es primo. Éste es un ejemplo clásico, debido a Euler, y si vamos probando n=1, 2, 3, 4,..., 40, obtendremos p(n)=41, 43, 47, 53,..., 1601, que son todos primos. Pero al llegar a n=41 tendremos p(41)=41^2, que claramente no lo es. Un ejemplo menos clásico, pero quizás más espectacular, se obtiene al calcular el máximo común divisor de n^5-5 y (n+1)^5-5. Resulta ser 1 para n desde 1 hasta 1.435.389 (¡muchos casos!), pero para n=1.435.390 el máximo común divisor es 1.968.751.

Recomendamos a todos nuestros lectores seguir hasta el final la explicación de José Garay en el vídeo de la derecha para entender bien el problema... y para disfrutar con una sorpresa musical que nos ha preparado el profesor.

Como la semana pasada, no nos resistimos a publicar la solución, particularmente ingeniosa de una lectora. Carmen del Río ha reformulado el problema y ha convertido nuestro dilema musical en una cuestión amorosa que protagoniza un matemático de nombre Desiderio. Aquí va su propuesta.

"El matemático Desiderio, incapaz de poner fin a su perniciosa relación con la inaccesible Helena, decide espaciar implacable y progresivamente las cortas visitas que le hace.

La visita un lunes. Tras (casi) un día sin verla, la visita el martes. Deja pasar dos y la visita el jueves. Deja pasar tres y la visita el domingo. Tras cuatro más la visita el jueves, y así sucesivamente.

Previendo un proceso de, al menos, 7.000 visitas, se pregunta:

1. ¿Cuántas veces la habrá visitado en lunes?

2. ¿Habrá algún día de la semana en que no la haya visitado?

Las siete primeras visitas son las siguientes:

1 = L

L + 1 = M

M + 2 = J

J + 3 = D

D + 4 = D - 3 = J

J + 5 = J - 2 = M

M + 6 = M - 1 = L

Estas visitas forman el ciclo L- M- J- D- J- M-L, que se repetirá indefinidamente.

Al cabo mil ciclos (7.000 visitas), el número de visitas será:

Lunes, Martes y Jueves = 2.000 visitas;

Domingo = 1.000 visitas;

Miércoles, Viernes y Sábado = 0 visitas.

De igual forma, en el caso del piano gigantesco, las teclas tocadas serán:

Do, Re y Fa = 2.000 veces;

Si = 1.000 veces;

Mi, Sol y La = 0 veces".

El próximo jueves plantearemos un nuevo desafío.

Un piano gigantesco

La solución al piano... con sorpresa musical