Cómo tapar una mesa

Philippe Gimenez , profesor titular del <a href="http://www.uva.es/cocoon_uva/impe/uva/departamento?idCampus=3859&idCentro=32325&idDep=27981&idInsts=&tamLetra=&idMenus=93,3185" target="blank">Departamento de Álgebra, Geometría y Topología</a> de Facultad de Ciencias de la Universidad de Valladolid, presenta el vigesimocuarto de los desafíos matemáticos con los que EL PAÍS celebra el <a href="http://www.rsme.es/centenario/" target="blank">centenario de la Real Sociedad Matemática Española</a>.<p> Envía tu solución antes de las 00.00 horas del lunes 29 de agosto (medianoche del domingo, <b>hora peninsular española</b>) a la dirección <a href="mailto:desafiodeagosto5@gmail.com">desafiodeagosto5@gmail.com </a> y gana <a href="http://www.elpais.com/promociones/matematicas/">una biblioteca matemática</a> como la que cada semana distribuye EL PAÍS.</p><p> A continuación, para aclarar las dudas y en atención a nuestros lectores sordos, incluimos el <b>enunciado del problema por escrito</b>.</p><p> Tenemos una mesa rectangular y un número suficientemente grande de círculos, todos del mismo tamaño. Se consideran dos tipos de distribuciones de círculos sobre el tablero:</p><p> La primera consiste en poner los círculos sobre la mesa, con su centro dentro de ella, de forma que no se superpongan (sí puede haber contacto) y además de forma que no quepa ningún otro círculo. En ese caso diremos que se ha <b>llenado</b> la mesa.</p><p> En la segunda distribución, los círculos sí pueden superponerse y se debe conseguir que todos los puntos de la mesa estén en alguno de ellos (es decir, que no quede a la vista ningún punto del tablero. En ese caso, diremos que se ha <b>tapado</b> la mesa.</p><p> El desafío consiste en demostrar que si la mesa se puede <b>llenar</b> con un número n de círculos, entonces se puede <b>tapar</b> con 4n de ellos.</p><p> <b>NOTA IMPORTANTE:</b> El planteamiento del desafío no dice nada sobre las medidas de los círculos ni de la mesa, que son totalmente arbitrarias. No se trata por tanto de calcular el número de discos o el tamaño que deberían tener, sino de justificar que la afirmación de que una mesa que se llena con n círculos se tapa con 4n círculos es <b>siempre</b> cierta.</p><p> <b><a href="http://www.elpais.com/articulo/sociedad/desafios/matematicos/elpepusoc/20110712elpepusoc_8/Tes">VER LOS DESAFÍOS ANTERIORES Y LOS OTROS CUATRO PROPUESTOS PARA AGOSTO</a></b> </p>

12 vértices y ¿seis distancias distintas?

Irene Ferrando, profesora de enseñanza secundaria, y Alejandro Miralles, investigador de la <a href="http://www.upv.es/" target="blank">Universitat Politècnica de València</a>, ambos profesores del proyecto <a href="http://estalmatcv.blogs.uv.es/" target="blank">Estalmat Comunitat Valenciana</a>, presenta el vigesimotercero de los desafíos matemáticos con los que EL PAÍS celebra el <a href="http://www.rsme.es/centenario/" target="blank">centenario de la Real Sociedad Matemática Española</a>.<p> Envía tu solución antes de las 00.00 horas del lunes 29 de agosto (medianoche del domingo, <b>hora peninsular española</b>) a la dirección <a href="mailto:desafiodeagosto4@gmail.com">desafiodeagosto4@gmail.com </a> y gana <a href="http://www.elpais.com/promociones/matematicas/">una biblioteca matemática</a> como la que cada semana distribuye EL PAÍS.</p><p> A continuación, para aclarar las dudas y en atención a nuestros lectores sordos, incluimos el <b>enunciado del problema por escrito</b>.</p><p> En un cuadrado, es muy fácil observar que no podemos emparejar sus cuatro vértices, sin repetir ninguno, de forma que obtengamos 2 segmentos de longitud distinta. O bien podemos conseguir las dos diagonales, o bien dos de los lados, pero nunca podremos obtener un lado y una diagonal.</p><p> En cambio, en un octógono regular, sí que podemos emparejar sus ocho vértices, sin repetir ninguno, para obtener 4 segmentos de longitud distinta. Numerando los vértices del octógono del 1 al 8 en el sentido de las agujas del reloj, una forma de emparejarlos sería: (1,2), (3,6), (5,7) y (4,8).</p><p> El desafío consiste en decir si es posible emparejar los vértices de un polígono regular de 12 lados (un dodecágono regular), sin repetir ninguno, para obtener en este caso 6 segmentos de longitud distinta. En caso de que sí se pueda, hay que encontrar una combinación de 6 pares de vértices como la que hemos obtenido para el octógono. En caso de que no se pueda, hay que dar un razonamiento lógico que nos asegure por qué no.</p><p> <b>NOTA IMPORTANTE:</b> Recomendamos que no intentéis resolverlo probando todos los casos posibles. </p><p> <b> <a href="http://www.elpais.com/articulo/sociedad/desafios/matematicos/elpepusoc/20110712elpepusoc_8/Tes">VER LOS DESAFÍOS ANTERIORES Y LOS OTROS CUATRO PROPUESTOS PARA AGOSTO</a> </b> </p>

¡Todo el mundo a su silla!

Jaime Sánchez y Eva Primo, estudiantes de <a href="http://centros.uv.es/web/centros/matematiques/castellano/" target="blank">Matemáticas</a> en la <a href="http://www.uv.es/ " target="blank">Universitat de València</a>, presentan el vigésimo de los desafíos matemáticos con los que EL PAÍS celebra el <a href="http://www.rsme.es/centenario/" target="blank">centenario de la Real Sociedad Matemática Española</a>.<p> Envía tu solución antes de las 00.00 horas del lunes 29 de agosto (medianoche del domingo, <b>hora peninsular española</b>) a la dirección <a href="mailto:desafiodeagosto1@gmail.com">desafiodeagosto1@gmail.com </a> y gana <a href="http://www.elpais.com/promociones/matematicas/">una biblioteca matemática</a> como la que cada semana distribuye EL PAÍS. </p><p>A continuación, para aclarar las dudas y en atención a nuestros lectores sordos, incluimos el <b>enunciado del problema por escrito</b>. </p><p>Se consideran 35 sillas colocadas en fila y en las que están sentadas 35 personas. En un momento dado, las 35 personas se levantan y se vuelven a sentar donde estaban o en la silla de al lado (derecha o izquierda). Observad que las esquinas sólo tienen dos movimientos posibles en vez de tres. </p><p>El desafío es: ¿De cuántas formas distintas pueden sentarse la segunda vez las 35 personas en estas 35 sillas siguiendo esta condición?</p><p> <b>NOTA IMPORTANTE:</b> No se trata de decir de cuántas maneras se pueden sentar 35 personas en 35 sillas, sino de cuántas maneras pueden volver a sentarse, con las reglas dadas, 35 personas que estaban ya sentadas. <b>Hay que tener en cuenta que ni al principio ni al final queda ninguna silla vacía; es decir, cada silla está ocupada por una persona (y solo una).</b></p><p> <b> <a href="http://www.elpais.com/articulo/sociedad/desafios/matematicos/elpepusoc/20110712elpepusoc_8/Tes">VER LOS DESAFÍOS ANTERIORES Y LOS OTROS CUATRO PROPUESTOS PARA AGOSTO</a></b> </p>

Un sistema de riego eficiente

Mari Paz Calvo Cabrero, catedrática del <a href="http://www.uva.es/cocoon_uva/impe/uva/departamento?idDep=31455&idCampus=3859&idCentro=32325&tamLetra=&idMenus=93,3185" target="blank">Departamento de Matemática Aplicada</a> de la Facultad de Ciencias de la Universidad de Valladolid, presenta el vigesimoprimero de los desafíos matemáticos con los que EL PAÍS celebra el <a href="http://www.rsme.es/centenario/" target="blank">centenario de la Real Sociedad Matemática Española</a>.<p> Envía tu solución antes de las 00.00 horas del lunes 29 de agosto (medianoche del domingo, <b>hora peninsular española</b>) a la dirección <a href="mailto:desafiodeagosto2@gmail.com">desafiodeagosto2@gmail.com </a> y gana <a href="http://www.elpais.com/promociones/matematicas/">una biblioteca matemática</a> como la que cada semana distribuye EL PAÍS.</p><p> A continuación, para aclarar las dudas y en atención a nuestros lectores sordos, incluimos el <b>enunciado del problema por escrito</b>.</p><p> El desafío de esta semana tiene que ver con hacer mínima la suma de las distancias a un conjunto de puntos dados.</p><p> En un jardín se quiere montar un sistema de riego automático. Para ello se instalará una boca de riego de la que saldrán tantas tuberías como árboles queramos regar, de modo que cada tubería llegue a uno de dichos árboles y que la suma de las longitudes de dichas tuberías sea mínima. </p><p>Es claro que si sólo tenemos 2 árboles y situamos la boca de riego en cualquier punto de la recta que los une, la suma de las longitudes de las tuberías es mínima, con independencia del punto de la recta que se elija. </p><p>Pues bien, ahora consideramos un jardín con 4 árboles y el desafío de esta semana consiste en determinar cuál es el punto (o los puntos, si hubiera más de uno) en los que hay que situar la boca de riego para que la suma de las longitudes de las cuatro tuberías sea mínima. </p><p>¡Cuidado!, porque la solución va a depender de la disposición que presenten los cuatro árboles en el jardín. </p><p><b>NOTA IMPORTANTE:</b> Para que la solución sea válida, habrá que dar la respuesta correcta en todos los casos posibles, sin que sea necesario justificarla. <b>Hay que tener en cuenta que, aunque siempre es imprescindible que haya tantas tuberías como árboles (es decir, cuatro), la boca de riego puede estar situada justo donde hay un árbol, en cuyo caso se considerará que la tubería que va a dicho árbol tiene una longitud 0.</b></p><p> <b> <a href="http://www.elpais.com/articulo/sociedad/desafios/matematicos/elpepusoc/20110712elpepusoc_8/Tes">VER LOS DESAFÍOS ANTERIORES Y LOS OTROS CUATRO PROPUESTOS PARA AGOSTO</a> </b> </p>