Solución al desafío matemático de la Lotería de Navidad: un reintegro no equitativo... por poco

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Ya hay solución para el desafío matemático extraordinario presentado por EL PAÍS y la Real Sociedad Matemática Española con motivo del sorteo de la Lotería de Navidad. Adolfo Quirós Gracián, profesor de la Universidad Autónoma de Madrid  y director de La Gaceta de la Real Sociedad Matemática Española, presentó el desafío, y nos da ahora la solución, no sin antes señalar que la idea surge de una sugerencia que hizo a cuenta del desafío del año pasado uno de los participantes habituales en los desafíos, Carlos Santa María, a quien damos las gracias.

Recordemos el problema planteado. Se trataba de calcular qué probabilidad tiene cada uno de los números de 100 cifras que participan en la Gúgol Lotería de Navidad que se juega en una galaxia muy lejana, de ganar el Gúgol-reintegro, que se asigna a los números cuyo Gúgol-dígito coincide con la terminación del Gordo, salvo el Gordo propiamente dicho.

La clave está precisamente en la última frase: el Gordo no puede ganar el Gúgol-reintegro. Eso va a hacer que la probabilidad, aunque por poco, no sea la misma para todos los números.

Observemos que cada terminación la tienen 10^99 números (utilizamos como de costumbre el acento circunflejo para indicar un exponente), y por tanto la probabilidad de que el Gúgol-dígito del número que yo juego coincida con la terminación del Gordo es 10^99/10^100=1/10=0.1.

Esto es cierto incluso si juego el 0…0 (100 ceros), que es el único número que tiene Gúgol-dígito 0: ganaría el Gúol-reintegro si el Gordo cayese en cualquiera de los 10^99 números que acaban en 0… salvo si el Gordo fuese justo el número 0…0 que yo juego (en ese caso ningún número ganaría el Gúgol-reintegro, pero esa no es la pregunta).

Esta es la situación general: debemos distinguir entre números cuyo Gúgol-dígito coincide con su terminación (como el 0) y números en los que esto no sucede (como el que yo juego este año, que acaba en 8 pero su Gúgol-dígito es 3). En el primer caso, como hay que excluir la posibilidad de que me haya tocado el Gordo, la probabilidad de ganar el Gúgol-reintegro es

(10^99-1)/10^100=0,0999…999 (99 nueves).

En el segundo caso, si mi Gúgol-dígito es la terminación de el Gordo no puede haberme tocado el Gordo, y la probabilidad de tener Gúgol reintegro es ligeramente mayor:

10^99/10^100=0,1.

En particular, aunque por poco, esta regla sigue sin ser equitativa.

Para completar el desafío, indiquemos qué números son de cada tipo. Para ello recordamos que, como explicamos el año pasado, para cualquier número su Gúgol-dígito es el resto que obtenemos al dividirlo entre 9 (con la pequeña salvedad de que, en lugar de restos entre 0 y 8 los tendremos entre 1 y 9). De esto podemos deducir que:

* Hay 10^99+9 números cuyo Gúgol-dígito COINCIDE con su terminación, a saber:

- el 0.

- los 9 números de 1 cifra.

- los 10^99-1 números que no acaban en 0 y tales que el Gúgol-dígito del número que se obtiene quitándoles la última cifra es 9.

* Hay 9x10^99-9 números cuyo Gúgol-dígito NO COINCIDE con su terminación, a saber:

- los 10^99-1 que acaban en 0 y no son el 0.

- los 8x(10^99-1) números que no acaban en 0 y tales que el Gúgol-dígito del número que se obtiene quitándoles la última cifra no es 9.

Parece que el desafío de este año ha resultado más difícil de lo que esperábamos: apenas la mitad de las respuestas recibidas son correctas. No obstante, muchos de los lectores dan soluciones muy claras y completas, y bastantes explican por qué los números cuyo Gúgol-dígito coincide con su terminación son los de la forma 90n+d, para d=0, 1, 2,...,9, una descripción precisa y sencilla de escribir que no se nos ocurrió incluir en el vídeo. Me alegra que los lectores mejoren nuestra solución.

Entre los lectores cuyas respuestas más nos han gustado (no podemos mencionar a todos) están Luis Alberto G. C, que ha escrito desde Mérida (Venezuela), Santiago R. M. y Noelia C.. Esta última recibirá como regalo de la RSME el libro Soluciones ¡Ajá!, de Martin Erickson, que forma parte de la Biblioteca Estímulos Matemáticos que la sociedad publica conjuntamente con Editorial SM.

Hayáis dado o no con la solución correcta, espero que el desafío os haya resultado interesante. Personalmente, valoro mucho las muestras de agradecimiento por prepararlos. En nombre de EL PAÍS, de la RSME y en el mío propio, os deseo felices fiestas ¡y suerte este domingo con la lotería!.