Una conjetura para controlar todos los espacios

La teoría de control es una de esas cosas de la vida que es fácil en la teoría y difícil en la práctica. Por ejemplo, controlar un patinete, incluso en una pista lisa, es complicado para alguien que no tenga práctica. Sin embargo, resulta fácil explicar el fundamento teórico: el sistema que controla la dirección del patinete (inclinar el cuerpo a la derecha y a la izquierda muy sutilmente y darse impulso con un pie) permite movimientos limitados: no puedes desplazar el patinete en dirección perpendicular a la de su movimiento. Lo bueno es que, pese a esta restricción, podemos ir de cualquier punto de la pista a otro. Es lo que en matemáticas se llama un sistema controlable.

Para describir matemáticamente un sistema se recurre a la geometría. El patinete vendrá dado por tres coordenadas: la posición (x,y) en el plano y el ángulo de su eje, que llamamos z. Desplazar el patinete del punto (0, 1, 45) al (0,0,0), equivale a partir de una posición inicial (0,1) en la que el patinete forma 45 grados y ponerlo horizontal y bajar un metro en vertical. Es posible seguir en una trayectoria que conecte estos dos puntos y que no te lleve al hospital, que llamaremos curva admisible. Lo ideal sería que pudiésemos desplazarnos en nuestro espacio a lo largo de la línea recta que une los dos puntos en el tres espacio, pero esto no suele ser así. En el ejemplo anterior, si siguiéramos la línea recta haríamos avanzar el patinete en una dirección que forma 45 grados con las ruedas y eso no es buena idea.

En general, para cualquier punto (x,y,z) de la pista existen solo algunas trayectorias (x(t), y(t), z(t)) –ya que dependen del tiempo– admisibles. ¿Podríamos saber cuáles son? Pensando un poco, vemos que la clave es que sigan la dirección de los ruedas, lo que matemáticamente se traduce de la siguiente forma: valen las trayectorias cuya tangente a la curva posición en el punto (x(t), y(t)) tiene que formar ángulo z(t).

Si consideramos un espacio formado por todas las curvas que pasan por un punto (x, y, z), estas curvas admisibles serán un subconjunto, definido como las que son tangentes a un plano específico. Como el plano tangente permitido depende del punto, eso permite encontrar siempre curvas admisibles que conecten pares de puntos arbitrarios: podemos afirmar que el sistema de control geométrico es controlable.

El ejemplo del patinete muestra que en el espacio de tres dimensiones siempre es posible construir un sistema controlable. Pero ¿podemos afirmar lo mismo en espacios de forma y dimensión generales? Gracias a una rama de la geometría llamada topología simpléctica sabemos que los sistemas más controlables –denominados estructuras de contacto– solo se pueden definir en espacios de dimensión impar.

Si consideramos un espacio formado por todas las curvas que pasan por un punto (x, y, z), estas curvas admisibles serán un subconjunto, definido como las que son tangentes a un plano específico

A mediados del siglo XX el chino-americano Shiing-Shen Chern, considerado uno de los matemáticos más importantes del siglo XX y padre de la geometría diferencial moderna, conjeturó que en casi todos los espacios de dimensión impar existen estructuras de contacto; es decir, podemos crear un patinete que nos lleve a todas partes.

La demostración se demoró más 50 años y en sus sucesivos avances intervinieron muchos matemáticos –entre ellos William Thurston, ganador de la Medalla Fields en 1982 o Mijaíl Gromov, premio Abel en 2009–. En 2015, el grupo de geometría de contacto del ICMAT dio el paso definitivo para llegar a la respuesta general: probó el caso de espacios de dimensión 5 –pasar de 3 a 5 resultaba ser lo más complicado–. Además, en 2019 han explicado la prueba general en términos muy simples.

Con esta demostración ya se puede garantizar que existen patinetes manejables en cualquier espacio. Eso sí, de su manejo “inteligente” ya se ocupa su conductor y, en todo caso, con la ayuda de otra rama de las matemáticas: la teoría de optimización.

Francisco Presas es científico titular del CSIC en el ICMAT

Café y Teoremas es una sección dedicada a las matemáticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los últimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matemáticas y otras expresiones sociales y culturales y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar café en teoremas. El nombre evoca la definición del matemático húngaro Alfred Rényi: "Un matemático es una máquina que transforma café en teoremas".

Edición y coordinación: Ágata Timón (ICMAT).

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