El problema de las 1.000 bombillas

Los problemas son el alma de las matemáticas. Todos los grandes avances en matemáticas han comenzado con algún problema, se han creado importantes ramas de las matemáticas a partir de la resolución de algún problema (recordad, por ejemplo, la teoría de grafos y la probabilidad moderna) y, además, son fundamentales para aprender a aplicar convenientemente los conocimientos matemáticos a cuestiones más concretas.

Dejando aparte la mayor o menor dificultad que puede tener, un problema puede ser feo, del montón, típico, bonito, de gran belleza… Seguro que muchos de vosotros os habéis encontrado con problemas de todos estos tipos, nos ha pasado a todos. Pues hoy os voy a hablar de un problema que me ha encantado desde la primera vez que lo vi y que, además, nos muestra que con conceptos muy básicos podemos crear problemas interesantes a la par que bellos.

El problema en cuestión puede enunciarse de varias maneras. Yo os voy a dar la siguiente:

“Después de ser secuestrado, te despiertas en una gran sala donde vemos 1.000 bombillas apagadas, numeradas del 1 al 1.000. Notas que te estás quedando sin oxígeno, por lo que necesitas salir de esa habitación. Al fondo ves una puerta. Intentas abrirla, pero no hay manera, es imposible, está bloqueada…

En ese momento, una voz grave sale de algún lugar de la habitación y dice lo siguiente:

‘Imagine que pudiera encender y apagar cada una de las bombillas que hay en la habitación. En esa hipotética situación, comenzando con la bombilla 1 y siguiendo un orden ascendente, colóquese mentalmente delante de cada bombilla y cambie de estado todas las que tengan un número que sea múltiplo de la bombilla en la que está situado en ese instante.

Tras llegar a la bombilla 1.000 y realizar dicha operación con ella, ¿qué bombillas terminarán encendidas? Piénselo bien, de su respuesta depende que salga de la habitación o que permanezca ahí para siempre. Si da con la respuesta correcta, recuperará su libertad. Tiene un minuto para dar con ella.’

¿Conseguiríais salir de la habitación o, por el contrario, vuestra vida terminaría en aquel lugar? Analizad el problema y pensadlo durante un rato mientras aclaro algunos detalles:

- Cambiar de estado una bombilla es encenderla si estaba apagada o apagarla si estaba encendida.

- No puedes volver atrás, es decir, primero haces lo que te dicen en la bombilla 1, luego en la 2, después en la 3, y así sucesivamente en orden ascendente.

- Un número es múltiplo de sí mismo.

Sigue pensando, analiza la situación, hazte un dibujito o un esquema, intenta ver qué ocurre con casos particulares o caso más simples… En definitiva, utiliza tácticas de resolución de problemas para intentar resolver este problema (parece una obviedad, pero en muchas ocasiones no lo es).

¿Lo has conseguido? Espero que sí, pero por si acaso vamos a mostrar la solución y a dar una forma de resolverlo usando un concepto muy sencillo que se conoce desde la educación primaria: el concepto de divisor de un número.

Pero antes vamos a pensar el problema con menos bombillas, 10 por ejemplo. Vamos paso a paso haciendo lo que nos han ordenado (si seguís el proceso con papel y boli lo veréis más claro):

- Bombilla 1: encendemos las bombillas 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y 10.

- Bombilla 2: apagamos las bombillas, 2, 4, 6, 8, y 10.

- Bombilla 3: apagamos la 3, encendemos la 6 y apagamos la 9.

- Bombilla 4: encendemos la 4 y la 8.

- Bombilla 5: apagamos la 5 y encendemos la 10.

- Bombilla 6: apagamos la 6.

- Bombilla 7: apagamos la 7.

- Bombilla 8: apagamos la 8.

- Bombilla 9: encendemos la 9.

- Bombilla 10: apagamos la 10.

Después de todo esto, quedan encendidas las bombillas 1, 4 y 9. Uhmmm…

Tomad ahora 20 bombillas y haced lo mismo. Enseguida el resultado…

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¿Ya? Si habéis seguido el proceso sin errores, os quedarán encendidas las bombillas 1, 4, 9 y 16. Y si tomáis 50 bombillas, quedarán encendidas las bombillas 1, 4, 9, 16, 25, 36 y 49… ¿Veis la relación? Correcto: quedan encendidas las bombillas que corresponden a números que son cuadrados perfectos. No me negaréis que el resultado no es realmente hermoso.

Y ahora toca explicar si esta es la solución para cualquier número de bombillas y por qué ocurre esto, ya que podría ser que al aumentar la cantidad de bombillas se rompiera la magia. Y aquí es donde entra en juego el concepto de divisor.

Cada bombilla cambia de estado una cantidad de veces que corresponde exactamente con la cantidad de divisores que su número tenga. Por ejemplo, como el 6 tiene cuatro divisores (1, 2, 3 y 6), la bombilla 6 se enciende, se apaga, se enciende y después se apaga, y así se queda; y como el 9 tiene tres divisores (1, 3 y 9), la bombilla 9 se enciende, se apaga y posteriormente se enciende, terminando así.

A partir de esto, es sencillo deducir que las bombillas que quedarán encendidas serán las que tienen un número con una cantidad impar de divisores. Y ahora la pregunta es: ¿cómo se calcula la cantidad de divisores que tiene un número natural?

El teorema fundamental de la aritmética nos dice que todo número natural N mayor que 2 puede expresarse de forma única (salvo el orden) como producto de potencias de números primos. Si los exponentes de estos números primos son a₁, … , a_k, se tiene que la cantidad de divisores de N es:

Cantidad de divisores de N = (a₁ + 1) · (a₂ + 1) · … · (a_k + 1)

Hemos dicho que, para que la bombilla N quede encendida, debe darse que N tenga una cantidad impar de divisores. Para ello, todos los factores de este producto deben ser impares (si alguno de ellos fuera par, el producto completo sería par). Y, para que eso ocurra, debe ocurrir obligatoriamente que todos los exponentes sean pares.

¿Y cuáles son los números que cumplen que todos los exponentes de su descomposición en factores primos son pares? Exacto, los cuadrados perfectos: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256,… Ya tenemos la solución del problema y la explicación del porqué de la misma.

Estoy seguro de que algunos (quizás muchos) de vosotros ya conocíais este problema. Espero que a vosotros os haya gustado recordarlo, y que los que os habéis encontrado con él por primera vez hayáis disfrutado con él tanto como lo hice yo en su momento.

Problemas de este tipo, de bello resultado y resolución simple, los hay de todo tipo. Si conocéis alguno que creáis que puede ser de interés, no dudéis en hablarnos de él en los comentarios.