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La solución al desafío matemático

Adolfo Quirós Gracián, profesor de la Universidad Autónoma de Madrid, resuelve el problema planteado a los lectores de EL PAÍS

La ganadora, Carmen Alonso, recibirá por cortesía de la Real Sociedad Matemática Española (http://rsme.es), el libro Gardner para principiantes, una publicación de SM con la que la RSME ha celebrado el centenario de Martin Gardner

A continuación, para aclarar dudas y en atención a nuestros lectores sordos, añadimos la solución por escrito.

Como en todos los problemas de probabilidad finita, la respuesta vendrá dada por "casos favorables divididos entre casos posibles". Los casos posibles son la suma de los favorables y los no favorables. Calculemos ambas cantidades para cada una de nuestras cuatro preguntas. Recordemos que en todos los casos Silvia y Miguel nos han dado boca abajo dos decimos con terminaciones distintas

1) Levanto uno de ellos y veo que es una terminación par. ¿Cuál es la probabilidad de que el otro décimo también sea par? Las posibilidades de que ese par venga acompañado por un impar son 5 (opciones para la terminación par) x 5 (opciones para la terminación impar). En total 25. Las posibilidades de que ese par venga acompañado por otra terminación par par son 5 (opciones para el décimo que levanto) x 4 (opciones para la otra terminación par, que debe ser distinta). En total 20. La respuesta a nuestra primera pregunta es por tanto que la probabilidad es 20/(25+20)=20/45=4/9.

2) Tras levantar el primer décimo, digo "acaba en 0". ¿Cuál es entonces la probabilidad de que mi segundo décimo también sea par? El décimo acabado en 0 puede ser acompañado de una terminación impar de 5 maneras, y de una terminación par distinta de 0 de 4 manera, de modo que la respuesta a nuestra segunda pregunta es que la probabilidad es 4/9, la misma que antes. Esto no debe sorprendernos, dado que la primera situación es como la segunda "con todo multiplicado por 5", dado que en lugar de una sola terminación par admitimos las 5.

3) En vez de levantar un sólo décimo, miro los dos a la vez y os anuncio "al menos uno de ellos es par". ¿Cuál es en ese caso la probabilidad de que los dos fuesen pares? Ahora hay que considerar "parejas de decimos", sin que haya uno privilegiado porque es el que miro. Vamos con nuestros casos desfavorables y favorables. Las parejas formadas por un décimo par y otro impar son 5 (opciones para la terminación par) x 5 (opciones para la terminación impar). En total 25. Pero para las parejas formadas por dos pares aparece una simetría con la que hay que tener cuidado. En principio podría parecer que las posibilidades son 5 (opciones para la primera terminación par de la pareja) x 4 (opciones para la segunda terminación par, que, recordemos, debe ser distinta). Pero al ver los dos décimos a la vez no debemos distinguir entre "primero y segundo": la pareja "terminación 0 y terminación 2" es sólo una, que coincide con "terminación 2 y terminación 0". Por tanto el número de parejas que podemos formar con dos terminaciones pares no es 20, sino 10. En consecuencia en esta ocasión la probabilidad de tener dos terminaciones pares es 10/(25+10)=10/35=2/7, ¡estrictamente más pequeña que los 4/9 de antes! Aunque pudiese parecer que, dado que sólo decimos que tenemos "al menos una terminación par", estamos dando la misma información que cuando sólo levantábamos un decimo no es así: la simetría ha hecho que la probabilidad de tener dos pares sabiendo que teníamos al menos uno haya bajado.

4) Suponed por último que miro los dos décimos y os comunico que uno de ellos acaba en 0. ¿Cuál es ahora la probabilidad de que mis dos décimos sean pares? Si recurrimos a la analogía con lo que ha pasado en las dos primeras preguntas podríamos pensar que la respuesta volverá a ser 2/7, pero vamos a ver si es así. ¿Cuántas parejas incluyen la terminación 0 y una terminación impar?: 5. ¿Cuántas incluyen la terminación 0 y otra terminación par distinta?: 4. La probabilidad buscada es entonces 4/9, ¡como en las dos primeras preguntas! Al singularizar el 0 hemos "roto la simetría" (o quizás hemos creado otra) y nos da igual haber visto los dos decimos o sólo uno de ellos.

La RSME y El País desea a todos los participantes (hayan enviado o no respuesta) una feliz Navidad y un venturoso 2016.

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