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El placer de las matemáticas

Steven Strogatz, profesor de la Universidad de Cornel, acerca la parte fascinante y divertidas de esta materia en su nuevo libro

  • Uno de los recuerdos menos agradables del colegio para una dilatada lista de adultos -y de niños actualmente- lo forman las matemáticas. "Aquello de los números" se convirtió en un martirio gracias a explicaciones complejas, símbolos ininteligibles y largas y tediosas demostraciones. Por eso, Steven Strogatz, autor de 'El placer de la x' (Taurus) y profesor de Matemáticas Aplicadas en la Universidad de Cornell (Estados Unidos), se ha aventurado a desmitificar la materia. "Quiero trasladar la idea de que las matemáticas pueden ser bonitas y que pueden ser una fuente de placer, felicidad y fascinación, no solo dolor", comenta antes de echar a reír durante una conversación en Skype. Su nuevo trabajo, anuncia, no está pensado ni enfocado hacia los expertos en la materia, sino que está dirigido a aquellas personas a las que les aterran o que han tenido "malas experiencias" con las matemáticas. Su objetivo, en realidad, es ayudar a entender la materia y explicar qué tiene de entretenido esta rama científica. En su nuevo trabajo el estadounidense recorre numerosos aspectos de las matemáticas, desde los conceptos más básicos -como la suma y la resta- hasta, literalmente, el infinito. Para ello, el estadounidense parte en cada capítulo de la explicación más sencilla posible y, paso a paso, desarrolla una serie de razonamientos para alcanzar la complejidad. Y todo ello entrelazado con un sentido de humor a priori no imaginable.
    1El placer de las matemáticas Uno de los recuerdos menos agradables del colegio para una dilatada lista de adultos -y de niños actualmente- lo forman las matemáticas. "Aquello de los números" se convirtió en un martirio gracias a explicaciones complejas, símbolos ininteligibles y largas y tediosas demostraciones. Por eso, Steven Strogatz, autor de 'El placer de la x' (Taurus) y profesor de Matemáticas Aplicadas en la Universidad de Cornell (Estados Unidos), se ha aventurado a desmitificar la materia. "Quiero trasladar la idea de que las matemáticas pueden ser bonitas y que pueden ser una fuente de placer, felicidad y fascinación, no solo dolor", comenta antes de echar a reír durante una conversación en Skype. Su nuevo trabajo, anuncia, no está pensado ni enfocado hacia los expertos en la materia, sino que está dirigido a aquellas personas a las que les aterran o que han tenido "malas experiencias" con las matemáticas. Su objetivo, en realidad, es ayudar a entender la materia y explicar qué tiene de entretenido esta rama científica. En su nuevo trabajo el estadounidense recorre numerosos aspectos de las matemáticas, desde los conceptos más básicos -como la suma y la resta- hasta, literalmente, el infinito. Para ello, el estadounidense parte en cada capítulo de la explicación más sencilla posible y, paso a paso, desarrolla una serie de razonamientos para alcanzar la complejidad. Y todo ello entrelazado con un sentido de humor a priori no imaginable. Taurus
  • La primera aproximación a las matemáticas comienza con el concepto de suma y, lógicamente, continúa por el de resta. Pero la idea de los números negativos, sostiene Strogatz, nos incomoda y la evitamos, como refleja el lenguaje al decir que Julio César nació en el año 100 a. C., en vez de el -100, o que hace cinco grados bajo cero, en vez de -5. "No es cuestión de reenseñar ahora a restar, sino de mostrar algo interesante. Pensé en el concepto sociológico que tenemos de que el amigo de mi amigo es un amigo o que el enemigo de mi enemigo es mi amigo. Eso es exactamente multiplicar números negativos". Este proceso traducido al lenguaje matemático construye, en definitiva, la lógica detrás de la multiplicación de números positivos y negativos: (+) x (+) = (+); (-) x (+) = (-); y (-) x (-) = (+). Este cálculo puede aplicarse en el contexto de las ciencias sociales a las relaciones interpersonales entre amigos, compañeros de trabajo o, incluso, entre naciones. Conocido en sociología como la teoría del equilibrio, Strogatz utiliza el sistema de alianzas previas a la Primera Guerra Mundial para explicar una curiosidad de los números negativos. Si se descomponen los vínculos en sencillos triángulos, donde se plasma las relaciones positivas (líneas continua) y negativas (líneas interrumpidas), la multiplicación de dos de sus lados describe la relación del tercero. "Los triángulos son primitivos pero parece explicar lo que sucedió, como dos países eran amigos porque tenían un enemigo común. Los sociólogos aplican esta lógica a sistemas de cuatro, cinco o más alianzas". Por eso, en los cinco primeros dibujos se da una situación de desequilibrio. Pero esta teoría, opina el profesor, no implica que dicha estabilidad sea algo necesariamente positivo. Durante la Guerra Fría existieron dos facciones políticamente estables o en equilibrio, aunque se trate de un contexto no deseable. "Fue un intento para entender la estabilidad geopolítica pero no es un mundo perfecto. Solo querían entender la tendencia de cómo se divide el planeta".
    2El secreto de las alianzas La primera aproximación a las matemáticas comienza con el concepto de suma y, lógicamente, continúa por el de resta. Pero la idea de los números negativos, sostiene Strogatz, nos incomoda y la evitamos, como refleja el lenguaje al decir que Julio César nació en el año 100 a. C., en vez de el -100, o que hace cinco grados bajo cero, en vez de -5. "No es cuestión de reenseñar ahora a restar, sino de mostrar algo interesante. Pensé en el concepto sociológico que tenemos de que el amigo de mi amigo es un amigo o que el enemigo de mi enemigo es mi amigo. Eso es exactamente multiplicar números negativos". Este proceso traducido al lenguaje matemático construye, en definitiva, la lógica detrás de la multiplicación de números positivos y negativos: (+) x (+) = (+); (-) x (+) = (-); y (-) x (-) = (+). Este cálculo puede aplicarse en el contexto de las ciencias sociales a las relaciones interpersonales entre amigos, compañeros de trabajo o, incluso, entre naciones. Conocido en sociología como la teoría del equilibrio, Strogatz utiliza el sistema de alianzas previas a la Primera Guerra Mundial para explicar una curiosidad de los números negativos. Si se descomponen los vínculos en sencillos triángulos, donde se plasma las relaciones positivas (líneas continua) y negativas (líneas interrumpidas), la multiplicación de dos de sus lados describe la relación del tercero. "Los triángulos son primitivos pero parece explicar lo que sucedió, como dos países eran amigos porque tenían un enemigo común. Los sociólogos aplican esta lógica a sistemas de cuatro, cinco o más alianzas". Por eso, en los cinco primeros dibujos se da una situación de desequilibrio. Pero esta teoría, opina el profesor, no implica que dicha estabilidad sea algo necesariamente positivo. Durante la Guerra Fría existieron dos facciones políticamente estables o en equilibrio, aunque se trate de un contexto no deseable. "Fue un intento para entender la estabilidad geopolítica pero no es un mundo perfecto. Solo querían entender la tendencia de cómo se divide el planeta".
  • Los acertijos matemáticos que nos planteaban en el colegio conseguían levantar dolores de cabeza en algunas ocasiones y fascinación en otras. Sin embargo, ¿qué sentido tienen, si sus enunciados son irreales? De estos problemas Strogatz rescata uno que le contó su tío en el que una bañera tarda en llenarse media hora si utiliza el grifo de agua fría y, una hora, en el caso de la caliente. Pero, ¿cuánto tiempo hace falta para que esté a rebosar? Aunque muchos habrán pensado en 45, haciendo la media, la respuesta correcta es 20 minutos. "Suenan ridículos pero te enseñan a pensar de una cierta manera. En este caso el mensaje es que hay que pensar en la relación entre variables y cómo se traduce en una ecuación", aclara el también colaborador del diario 'The New York Times'. "Este es un buen ejemplo de un problema de palabras. Para muchos la dificultad de las matemáticas reside en convertir el lenguaje cotidiano en matemáticas o viceversa". Con frecuencia, la resolución de estos acertijos es equivocada, ya que nuestra intuición o pensamiento rápido toma atajos. "Nuestros cerebros han evolucionado para tomar decisiones rápidas que son útiles para sobrevivir, pero no para resolver problemas de álgebra", opina el académico. Este capítulo pretende mostrar, asimismo, lo creativo de las matemáticas que, a pesar de buscar la solución correcta, existen numerosos caminos para dar con ella. ¿O acaso no recordamos las conversaciones después de los exámenes para ver qué resultados habíamos logrado y cómo?
    3El problema de los problemas Los acertijos matemáticos que nos planteaban en el colegio conseguían levantar dolores de cabeza en algunas ocasiones y fascinación en otras. Sin embargo, ¿qué sentido tienen, si sus enunciados son irreales? De estos problemas Strogatz rescata uno que le contó su tío en el que una bañera tarda en llenarse media hora si utiliza el grifo de agua fría y, una hora, en el caso de la caliente. Pero, ¿cuánto tiempo hace falta para que esté a rebosar? Aunque muchos habrán pensado en 45, haciendo la media, la respuesta correcta es 20 minutos. "Suenan ridículos pero te enseñan a pensar de una cierta manera. En este caso el mensaje es que hay que pensar en la relación entre variables y cómo se traduce en una ecuación", aclara el también colaborador del diario 'The New York Times'. "Este es un buen ejemplo de un problema de palabras. Para muchos la dificultad de las matemáticas reside en convertir el lenguaje cotidiano en matemáticas o viceversa". Con frecuencia, la resolución de estos acertijos es equivocada, ya que nuestra intuición o pensamiento rápido toma atajos. "Nuestros cerebros han evolucionado para tomar decisiones rápidas que son útiles para sobrevivir, pero no para resolver problemas de álgebra", opina el académico. Este capítulo pretende mostrar, asimismo, lo creativo de las matemáticas que, a pesar de buscar la solución correcta, existen numerosos caminos para dar con ella. ¿O acaso no recordamos las conversaciones después de los exámenes para ver qué resultados habíamos logrado y cómo?
  • Un clásico de entre los cl'asicos escolares fue y es, sin lugar a dudas, el teorema de Pitágoras. Aquella frasecilla que todos aprendimos a pies juntillas –el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos- y su fórmula -a2 + b2 = c2-, sirve no solo para el cálculo de distancias, sino para hallar áreas. A partir de ese enunciado, puede deducirse la distancia de los lados del triángulo y, si convertimos esos laterales en un cuadrado completo, daremos con el área de tres de ellos. Antiguamente, recuerda Strogatz, no se utilizaban fórmulas, sino dibujos y representaciones gráficas. “En este capítulo lo que yo quería era explicar por qué una demostración puede ser bonita y centrarme en la parte estética de las matemáticas”.
    4El poder de la demostración gráfica Un clásico de entre los cl'asicos escolares fue y es, sin lugar a dudas, el teorema de Pitágoras. Aquella frasecilla que todos aprendimos a pies juntillas –el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos- y su fórmula -a2 + b2 = c2-, sirve no solo para el cálculo de distancias, sino para hallar áreas. A partir de ese enunciado, puede deducirse la distancia de los lados del triángulo y, si convertimos esos laterales en un cuadrado completo, daremos con el área de tres de ellos. Antiguamente, recuerda Strogatz, no se utilizaban fórmulas, sino dibujos y representaciones gráficas. “En este capítulo lo que yo quería era explicar por qué una demostración puede ser bonita y centrarme en la parte estética de las matemáticas”.
  • La belleza matemática es, como en el criterio de toda hermosura, una cuestión subjetiva. Para Strogatz la demostración de las fórmulas encierra ese componente de encanto que, en ‘El placer de la x’, él plasma con Pitágoras. Si encerramos al cuadrado formado por cuatro hipotenusas, o laterales denominados 'c', dentro de otro, obtenemos c2 y cuatro triángulos. Si recortamos y movemos esos triángulos (imagen de la izquierda), nos encontramos con que el espacio total es, en realidad, la suma de a2, b2 y c2. “Me gustan las demostraciones limpias y simples, minimalistas”. En este caso, comenta el cordial divulgador matemático, esta comprobación se asemeja altamente a los mejores trucos de magia. “Tiene un elemento de sorpresa. No te lo esperas y de repente aparece. Parece magia y eso me gusta”, comenta visiblemente satisfecho.
    5El poder de la demostración gráfica La belleza matemática es, como en el criterio de toda hermosura, una cuestión subjetiva. Para Strogatz la demostración de las fórmulas encierra ese componente de encanto que, en ‘El placer de la x’, él plasma con Pitágoras. Si encerramos al cuadrado formado por cuatro hipotenusas, o laterales denominados 'c', dentro de otro, obtenemos c2 y cuatro triángulos. Si recortamos y movemos esos triángulos (imagen de la izquierda), nos encontramos con que el espacio total es, en realidad, la suma de a2, b2 y c2. “Me gustan las demostraciones limpias y simples, minimalistas”. En este caso, comenta el cordial divulgador matemático, esta comprobación se asemeja altamente a los mejores trucos de magia. “Tiene un elemento de sorpresa. No te lo esperas y de repente aparece. Parece magia y eso me gusta”, comenta visiblemente satisfecho.
  • Contrariamente a lo que muchas personas puedan pensar, el álgebra, la aritmética y el cálculo están por todas partes. Estas forman parte de nuestro entorno y, según Strogatz, las matemáticas describen todo tipo de formas y patrones. "Aquí me quise detener en las cónicas como las parábolas, elipsis o hipérboles. Son muy importantes en el mundo real porque gobiernan la forma de los planetas y sus movimientos. Quería quería enseñarle a la gente cómo se relacionan estas curvas en lo que denomina la conspiración cónica". Un ejemplo cotidiano, escribe el matemático, se esconde en el techo curvado de la estación Grand Central de Nueva York. "Pretendía incluir algo con lo que la gente juegue y la galería de los susurros era perfecta. Aquí se puede escuchar a una persona a 12 metros de distancia y a través de un hall muy ruidoso".
    6Las matemáticas nos rodean Contrariamente a lo que muchas personas puedan pensar, el álgebra, la aritmética y el cálculo están por todas partes. Estas forman parte de nuestro entorno y, según Strogatz, las matemáticas describen todo tipo de formas y patrones. "Aquí me quise detener en las cónicas como las parábolas, elipsis o hipérboles. Son muy importantes en el mundo real porque gobiernan la forma de los planetas y sus movimientos. Quería quería enseñarle a la gente cómo se relacionan estas curvas en lo que denomina la conspiración cónica". Un ejemplo cotidiano, escribe el matemático, se esconde en el techo curvado de la estación Grand Central de Nueva York. "Pretendía incluir algo con lo que la gente juegue y la galería de los susurros era perfecta. Aquí se puede escuchar a una persona a 12 metros de distancia y a través de un hall muy ruidoso".
  • Este fenómeno que numerosos turistas y locales prueban a su paso por la estación encuentra su explicación en la geometría y el concepto de focos. El sonido, que se transmite a través de ondas, se disipa y pierde con la distancia, pero, en este caso, la pared curvada hace que todas reboten hacia un punto en concreto. De esta manera el mensaje puede escucharse con claridad. Con esto, el profesor de Matemáticas Aplicadas acerca la importancia de la materia que, según él, constituye la estructura de este mundo. "Si se quiere predecir o controlar el entorno se necesita una ciencia que maneje patrones. Y eso son las matemáticas". Así, las matemáticas se encuentran inmersas en lo más básico y profundo de otras especialidades, desde física, química o astronomía, hasta las ciencias sociales. "Cuando se desarrolla y dominan los patrones y estructuras, entonces se posee la habilidad para construir rascacielos, diseñar sistemas de comunicaciones o describir el entorno".
    7Las matemáticas nos rodean Este fenómeno que numerosos turistas y locales prueban a su paso por la estación encuentra su explicación en la geometría y el concepto de focos. El sonido, que se transmite a través de ondas, se disipa y pierde con la distancia, pero, en este caso, la pared curvada hace que todas reboten hacia un punto en concreto. De esta manera el mensaje puede escucharse con claridad. Con esto, el profesor de Matemáticas Aplicadas acerca la importancia de la materia que, según él, constituye la estructura de este mundo. "Si se quiere predecir o controlar el entorno se necesita una ciencia que maneje patrones. Y eso son las matemáticas". Así, las matemáticas se encuentran inmersas en lo más básico y profundo de otras especialidades, desde física, química o astronomía, hasta las ciencias sociales. "Cuando se desarrolla y dominan los patrones y estructuras, entonces se posee la habilidad para construir rascacielos, diseñar sistemas de comunicaciones o describir el entorno".
  • Otro de los pilares de las matemáticas reside en los datos. Para aprovechar la información que estos brindan surgieron y se desarrollaron especialidades como la estadística. Los datos se reúnen y representan gráficamente en la denominada campana de Gauss, que muestra cómo la probabilidad de que algo suceda, se encuentra más cerca del valor medio que de los extremos -visualmente calrificador con el funcionamiento de la máquina Galton en la imagen-. Sin embargo, tras la estadística se encuentra un mal uso conocido por todos que también menciona Strogatz: la manipulación. "La forma mas fácil de manipular es a la hora hablar de medias", comenta en relación a su libro. En 2003 George Bush hijo sostuvo que su bajada de impuestos había ahorrado una media de 1.586 dólares a cada familia estadounidense, dato que no refleja el ahorro real. "La cifra surge del reembolso de cientos de miles de dólares del que se benefició el 0,1% de la población. Aquí la media es un engaño porque está lejos de la norma. De hecho la mayoría de familias recibieron menos de 650 dólares". En su vocación didáctica, el académico desarrolla también otros ejemplos en los que los datos no tienen por qué seguir la distribución frecuentemente utilizada en estudios sociológicos. Así, el profesor revela que una estadística que relacione variables como población de una ciudad (eje de abscisas) y porcentaje de ciudades (eje de ordenadas) se plasmaría más en forma de 'L'.
    8La manipulación estadística Otro de los pilares de las matemáticas reside en los datos. Para aprovechar la información que estos brindan surgieron y se desarrollaron especialidades como la estadística. Los datos se reúnen y representan gráficamente en la denominada campana de Gauss, que muestra cómo la probabilidad de que algo suceda, se encuentra más cerca del valor medio que de los extremos -visualmente calrificador con el funcionamiento de la máquina Galton en la imagen-. Sin embargo, tras la estadística se encuentra un mal uso conocido por todos que también menciona Strogatz: la manipulación. "La forma mas fácil de manipular es a la hora hablar de medias", comenta en relación a su libro. En 2003 George Bush hijo sostuvo que su bajada de impuestos había ahorrado una media de 1.586 dólares a cada familia estadounidense, dato que no refleja el ahorro real. "La cifra surge del reembolso de cientos de miles de dólares del que se benefició el 0,1% de la población. Aquí la media es un engaño porque está lejos de la norma. De hecho la mayoría de familias recibieron menos de 650 dólares". En su vocación didáctica, el académico desarrolla también otros ejemplos en los que los datos no tienen por qué seguir la distribución frecuentemente utilizada en estudios sociológicos. Así, el profesor revela que una estadística que relacione variables como población de una ciudad (eje de abscisas) y porcentaje de ciudades (eje de ordenadas) se plasmaría más en forma de 'L'.
  • Para terminar ‘El placer de la x’ su autor redondea su repaso matemático con la intrigante y contradictoria figura del infinito. “A la gente le gusta, tanto a los que les gusta los números, como a los que no. Eso si no piensan mucho porque sino les da dolor de cabeza”, ríe con tono bonachón. La fascinación por este concepto, argumenta el estadounidense, arranca en nuestra infancia en cuanto aprendemos a contar y conocemos cifras altas como 1.000 o 10.000. En seguida surge la idea de infinito. Para complicar aún más las cosas, Strogatz plantea el problema conocido como el Hotel de Hilbert que cuenta con infinitas habitaciones. Un día cualquiera, se presentan en la puerta del hotel infinitos huéspedes llegados en infinitos autobuses. ¿Hay sitio para todos? Con la complejidad detrás de esta idea, el académico pone así el punto final al libro con la contradicción de algo que no puede acabar. “Es un buen mensaje, infinito es un recordatorio de la cantidad de cosas básicas que aún no entendemos en matemáticas. Y eso es bueno, porque la materia nunca acaba”.
    9Hasta el infinito y más allá Para terminar ‘El placer de la x’ su autor redondea su repaso matemático con la intrigante y contradictoria figura del infinito. “A la gente le gusta, tanto a los que les gusta los números, como a los que no. Eso si no piensan mucho porque sino les da dolor de cabeza”, ríe con tono bonachón. La fascinación por este concepto, argumenta el estadounidense, arranca en nuestra infancia en cuanto aprendemos a contar y conocemos cifras altas como 1.000 o 10.000. En seguida surge la idea de infinito. Para complicar aún más las cosas, Strogatz plantea el problema conocido como el Hotel de Hilbert que cuenta con infinitas habitaciones. Un día cualquiera, se presentan en la puerta del hotel infinitos huéspedes llegados en infinitos autobuses. ¿Hay sitio para todos? Con la complejidad detrás de esta idea, el académico pone así el punto final al libro con la contradicción de algo que no puede acabar. “Es un buen mensaje, infinito es un recordatorio de la cantidad de cosas básicas que aún no entendemos en matemáticas. Y eso es bueno, porque la materia nunca acaba”.