El teorema del índice de Atiyah-Singer

Gran parte de los modelos matemáticos que describen las leyes de la naturaleza vienen formulados en términos de ecuaciones diferenciales. En general, resulta muy difícil, a veces imposible, encontrar soluciones explícitas a una determinada ecuación diferencial, siendo más razonable preguntarse cuántas soluciones existen (suponiendo que exista alguna). Pues bien, el teorema del índice de Atiyah y Singer, aparecido hace más de cuatro décadas y por el que ambos autores han recibido el Premio Abel 2004, da una respuesta a esta pregunta para una clase muy amplia de ecuaciones diferenciales.

El teorema proporciona una fórmula que determina el número de soluciones en función exclusivamente de la topología o forma del espacio en el que el modelo tiene lugar. Se trata de un resultado muy profundo, en el que se combinan ramas de las matemáticas tan diversas y fundamentales como el análisis, la topología y la geometría, contando con un sinnumero de importantes aplicaciones a todas estas disciplinas, y más recientemente a la física cuántica de partículas.

Recientemente se ha dado una demostración basada en la física cuántica

Creado por Newton y Leibniz a finales del siglo XVII, el análisis matemático se ocupa del estudio de las funciones en un determinado espacio, así como de sus derivadas e integrales. Éstos son los ingredientes esenciales para el estudio de las ecuaciones diferenciales, ecuaciones que establecen relaciones entre las derivadas de una o varias funciones. Las ecuaciones diferenciales proporcionan una potentísima herramienta para describir los fenómenos estudiados por las ciencias naturales, particularmente por la física. Las leyes de Newton de la gravedad, el movimiento de los fluidos, la teoría de la relatividad de Einstein, los diversos modelos del universo y de las interacciones entre partículas elementales, todos vienen descritos mediante ecuaciones diferenciales.

La topología y la geometría son dos disciplinas matemáticas que, como el análisis, son esenciales en el teorema del índice de Atiyah-Singer. La topología de un espacio tiene que ver con la forma de ese espacio en un sentido mas básico y crudo que el de la geometría. Dos espacios tienen la misma topología si uno puede deformarse en el otro -como si de figuras de plastilina se tratase- sin producir agujeros o rasgaduras. Por otro lado, siempre que hablamos de distancias, ángulos, rectas o planos estamos hablando de geometría. Por ejemplo, las superficies de un balón de fútbol y de un balón de rugby son topológicamente indistinguibles, a pesar de ser bien distintas geométricamente, como pone de manifiesto la distinta manera en que se curvan sus respectivas líneas meridianas.

Los aspectos topológicos más relevantes para el teorema del índice tienen más que ver con las propiedades globales de un espacio que con sus propiedades locales, confinadas éstas últimas a un entorno. Un ejemplo de propiedad global lo proporcionan las superficies cerradas, esto es, superficies sin borde, que, como la esfera, pueden encontrarse en el espacio ordinario tridimensional. Resulta que una superficie de este tipo se puede deformar siempre topológicamente a una esfera con un número determinado de asas. Por ejemplo, la superficie de una rosquilla es equivalente a una esfera con un asa. Así pues, el número de asas es una propiedad global que caracteriza a la superficie topológicamente.

El espacio en el que se define un modelo matemático puede ser más o menos complicado, dependiendo del fenómeno que se desea describir, pudiendo tener cualquier dimensión en general. En los modelos físicos, por ejemplo, se puede considerar el espacio-tiempo usual o incluso un espacio-tiempo en el que en cada punto el observador está equipado de un espacio interno adicional que le permite medir determinadas propiedades físicas, como la masa, la carga, o el espín de una partícula.

Por ejemplo, en la teoría de Yang-Mills que describe la física de las partículas elementales, este espacio interno es un objeto algebraico denominado grupo de Lie. Si el grupo considerado es la circunferencia, vista como el grupo de rotaciones de un plano, la teoría de Yang-Mills coincide con el modelo de Maxwell del electromagnetismo, que explica fenómenos naturales como los rayos de las tormentas o los imanes.

Otras fuerzas fundamentales de la naturaleza, relevantes en los fenómenos cuánticos a pequeña escala, son la interacción débil y la interacción fuerte. Estas fuerzas, que tienen lugar en los núcleos de los átomos, y que son responsables en gran medida de la estabilidad de la materia, vienen descritas considerando otros grupos de Lie.

Pues bien, después de estas ideas preliminares, podemos ya enunciar el teorema del índice, aunque sea de un modo aproximado. Supongamos que tenemos un modelo matemático definido por una ecuación diferencial. El índice es esencialmente el número de soluciones de la ecuación. Más precisamente, éste se define como la diferencia entre el numero de parámetros necesarios para describir todas las soluciones y el número de relaciones impuestas por la ecuación diferencial.

Por supuesto, para que esta definición tenga sentido, ambos números deben ser finitos, propiedad que cumplen precisamente las ecuaciones a las que se aplica el teorema -ecuaciones diferenciales lineales elípticas-. La fórmula de Atiyah-Singer expresa el índice en función de determinadas cantidades denominadas clases características, que sólo dependen de la topología del espacio sobre el que está definido el modelo. Por ejemplo, en muchos problemas definidos sobre una superficie cerrada como las descritas anteriormente el índice viene dado en función del número de asas de la superficie (la única clase característica en este caso).

Éste es precisamente el contexto del teorema de Gauss-Bonnet que expresa la curvatura total de una superficie (una noción de naturaleza geométrica) en función del número de asas de la misma, o el teorema de Riemann-Roch que relaciona la teoría de funciones holomorfas sobre una superficie de Riemann (una teoría analítica) con el número de asas de la superficie. Estos son dos importantes teoremas del siglo XIX, entre los muchos resultados que generaliza el teorema de Atiyah-Singer.

Como es lógico imaginar, debido a su profundidad, el teorema del índice no es de fácil demostración. No obstante, a lo largo de los años se han dado varias demostraciones que, junto con las proporcionadas originalmente por Atiyah y Singer, han hecho cada vez más transparente el teorema. Algunas demostraciones son topológicas, otras son de carácter analítico, como la basada en la ecuación de conducción del calor.

Más recientemente se ha dado una demostración basada en la física cuántica, más concretamente, en la noción de supersimetría. Es bien sabido que los principios de simetría son fundamentales en física, por ejemplo las teorías de Yang-Mills, mencionadas anteriormente, gozan de una simetría muy importante: la invariancia gauge, que viene implementada precisamente por el grupo de Lie de la teoría. En los últimos años los físicos han descubierto otra simetría que la teoría debe satisfacer. Esta simetría, denominada supersimetría, intercambia bosones (partículas con espín entero, como los fotones) con fermiones (partículas con espín semientero, como los electrones).

Algunas de las recientes aplicaciones del teorema del índice vienen marcadas por esta importante conexión con la física. Entre éstas cabe mencionar el estudio de las anomalías de una teoría cuántica (la violación de determinadas simetrías de la teoría clásica al pasar a la teoría cuántica), o el intento de caracterización topológica de espacios de dimensión cuatro (la dimensión del espacio-tiempo de la física) utilizando el espacio de soluciones (instantones) de la ecuación de Yang-Mills definidas sobre el espacio original.

En conclusión, el teorema del índice no sólo ha cambiado el panorama de las matemáticas de las últimas décadas sino que además ha contribuido de manera muy especial al establecimiento de importantes y profundas conexiones entre diversas ramas de las matemáticas -particularmente la geometría y la topología-, así como de la física cuántica. Atiyah y Singer son sin lugar a dudas dos de los máximos responsables de esta rica y fructífera interacción, no sólo por el teorema del índice, sino por el inmenso trabajo desarrollado por ambos posteriormente en este campo y la enorme influencia que han ejercido en la comunidad científica dedicada a estas disciplinas.

Óscar García-Prada es investigador del Instituto de Matemáticas y Física Fundamental del CSIC