Ordenadores para una demostración de Kepler

El problema al apilar naranjas, o balas de cañón, o bolas de billar, del modo más eficaz es obvio: la disposición piramidal permite asentar más abajo cada capa de naranjas, en el hueco dejado por la capa inferior, y ocupar menos espacio que si los frutos se asentaran unos encima de otros. Aunque ésa parecía la respuesta correcta, nadie ofreció una demostración matemática convincente hasta 1998; e incluso entonces muchos expertos no quedaron convencidos. Durante seis años, los matemáticos han escudriñado los cientos de páginas de un artículo escrito por Thomas C. Hales, catedrático de Matemáticas de la Universidad de Pittsburgh.

Pero la demostración que Hales da al problema, conocido como la Conjetura de Kepler, se basa en una compleja serie de cálculos informáticos; demasiados y demasiado tediosos para que los matemáticos que revisan su artículo los comprueben a mano. Creerla requiere, por consiguiente, cierto nivel de fe en que el ordenador realizó los cálculos de manera intachable, sin errores de programación. Para un campo que ofrece lógica desapasionada y verdades y mentiras supuestamente inequívocas, ése es un incómodo intermedio grisáceo.

"La mente humana nunca será reemplazada", opina Larry Wos

El primer grupo de revisión dedicó varios años al intento, pero abandonó hace un año

Dadas las ambigüedades, la revista, la prestigiosa Annals of Mathematics, ha decidido publicar sólo las partes teóricas de la demostración, que se han comprobado de la manera tradicional. Una revista más especializada, Discrete and Computational Geometry, publicará los capítulos informáticos. La decisión representa un término medio entre la aceptación incondicional y el rechazo de las técnicas informáticas, cada vez más habituales en matemáticas.

El debate sobre las demostraciones obtenidas con ayuda del ordenador es la versión superior de las discusiones sobre el uso de las calculadoras en las clases de matemáticas: si la tecnología genera mejores resultados, al acelerar los cálculos repetitivos, o si más bien priva a las personas de su base. "No me gusta, porque uno no tiene la sensación de entender lo que está ocurriendo", afirma John H. Conway, catedrático de Matemáticas en Princeton. Pero otros matemáticos consideran la informática una gran ayuda: de la misma forma que los ordenadores de hoy pueden vencer a los grandes maestros del ajedrez, los ordenadores del mañana quizá puedan descubrir demostraciones con las que no han conseguido dar los mayores matemáticos.

El problema del almacenamiento de naranjas data al menos de la década de 1590, cuando sir Walter Raleigh, abasteciendo su barco para una expedición, se preguntó si habría una forma rápida de calcular el número de balas de cañón acumuladas en una pila basándose en la altura de ésta. Su ayudante, Thomas Harriot, le proporcionó la ecuación solicitada. Años más tarde, Harriot mencionó el problema a Johannes Kepler, el astrónomo que había deducido el movimiento de los planetas.

Kepler concluyó que la pirámide era la forma más eficaz (una disposición alternativa, con cada capa de esferas acumulada en forma de panal de abeja, es igualmente eficaz, pero no mejor). Pero Kepler no ofreció una demostración. Una demostración rigurosa, noción establecida por primera vez por Euclides hacia el 300 a. C., es una progresión lógica, que parte de suposiciones y llega a una conclusión. Si la cadena es correcta, la demostración es verdadera, si no, es errónea. Pero a veces una demostración es un concepto borroso, sometido al capricho y a la personalidad. Casi ninguna demostración publicada contiene todos los pasos; simplemente hay demasiados.

La Conjetura de Kepler tampoco es la primera demostración basada en los ordenadores. En 1976, Wolfgang Haken y Kenneth Apel, de la Universidad de Illinois, usaron cálculos informáticos para demostrar el teorema que afirma que cualquier mapa necesita sólo cuatro colores para garantizar que no haya regiones adyacentes del mismo color. El trabajo se publicó, y los matemáticos empezaron a encontrar errores en él. En cada caso, Haken y Appel solucionaron rápidamente el error. Pero "a muchos matemáticas esto les dejó mal sabor de boca", dice Robert D. MacPherson, director de Annals.

Para evitar que esto volviera a suceder, los directores de Annals pidieron una revisión cuidadosa y completa de la demostración de Hales. "Pero las cosas no han salido como esperábamos", dice MacPherson. El primer grupo de revisión dedicó varios años al intento, pero abandonó hace un año, agotado. Todo lo comprobado por los revisores, dirigidos por Gabor Fejes Toth, de la Academia Húngara de Ciencias, resultó correcto. Pero la perspectiva de revisar todos los cálculos resultó demasiado abrumadora. MacPherson compara el proceso con corregir las pruebas de una guía de teléfonos. "Todas las partes de la guía de teléfonos que comprobaron estaban bien", dice, "y miraron en muchos sitios".

Los directores de Annals enviaron el artículo a otro matemático, quién confirmó que los fundamentos teóricos eran buenos, y se tomó una decisión salomónica: dividieron el artículo de Hales en dos. "La parte publicada en The Annals of Mathematics es una demostración", dice MacPherson. "Consideramos que ha hecho una importante contribución a las matemáticas".

Siguiendo una nueva política, Annals ha decidido dar crédito a las demostraciones asistidas por ordenador, pero con un valor inferior al otorgado a las demostraciones tradicionales, considerándolas más como experimentos de laboratorio que proporcionan pruebas suplementarias.

Incluso en las demostraciones tradicionales, los revisores raramente comprueban todos los pasos, centrándose en los puntos más importantes. Al final, pueden creerse o no la demostración. "Cada vez más personas dicen que ésa es la demostración, y uno las cree", comenta Akihiro Kanamori, catedrático de Matemáticas en la Universidad de Boston. Por eso hoy en día rara vez se habla de una demostración anterior de la Conjetura de Kepler, ofrecida ocho años antes que la de Hales. Wo-Yi Hsiang (Universidad de California en Berkeley), afirmó que tenía la demostración en 1990, y en 1993 publicó un artículo que ahora considera un borrador, no una demostración completa. Los matemáticos la criticaron duramente, diciendo que contenía vacíos de lógica. Hsiang publicó su demostración completa en 2002 en forma de libro, no en una revista especializada.

Algunos creen que los ordenadores acallarán el debate sobre las demostraciones. En lugar de servir sólo como herramientas para los cálculos, como en la demostración de Hales, los ordenadores podrían usarse también para descubrir nuevas demostraciones.

Matemáticos como Larry Wos, del Argonne National Laboratory, usan programas informáticos de razonamiento automatizado: introducen los axiomas y el ordenador examina las posibilidades lógicas en busca de una demostración. Debido al enorme número de posibilidades, sigue haciendo falta un humano para decirle al ordenador dónde buscar. "La mente humana nunca será reemplazada", opina Wos, pero la ventaja de los ordenadores es su falta de ideas preconcebidas. "Pueden seguir trayectorias completamente opuestas a la intuición", dice. Considera que el ordenador también realiza el trabajo tedioso, dando a los matemáticos más tiempo para contemplar otros problemas, y genera tantos o tan pocos detalles como el matemático desee. Intel, el gigante de los microprocesadores, usa programas de comprobación de demostraciones para analizar los algoritmos de sus procesadores. Hales se ha embarcado en un proyecto similar, llamado Flyspeck las letras F, P y K hacen referencia a formal proof of Kepler

[demostración formal de Kepler] para descartar todas las dudas que hoy provoca la demostración informática. Sin embargo, los programas actuales no pueden manejar algo tan complejo como la Conjetura de Kepler. Hales calcula que para completar el proyecto harán falta 20 años de trabajo acumulativo de un equipo de matemáticos.

© The New York Times