La última pieza del rompecabezas

Más de 200 páginas de cálculos y deducciones ocupa la demostración del último Teorema de Fermat presentada por el matemático británico Andrew Wiles el pasado miércoles en la universidad de Cambridge (Reino Unido). El anuncio de la resolución de uno de los mayores desafíos de las matemáticas, enunciado hace 356 años, aunque todavía sin confirmar, ha producido un gran revuelo entre los científicos de este área. Ahora, ese larguísimo estudio será sometido a intenso escrutinio por equipos de especialistas colegas de Wiles para confirmar que todos los pasos de la demostración presentada son correctos. Antonio Córdoba, catedrático de Análisis Matemático de la Universidad Autónoma de Madrid, explica el teorema y el camino que se ha seguido para lograr lo que parece ser su definitiva resolución.

Cubum autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadrato quadratos quadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duas ajusdem nominis fas est dividire: cujus rei demostrationem mirabilem sane detexi. Manc marginis exiguitas non caperet. Este es el texto latino que se encuentra en la edición del libro de Diofanto de Alejandría usado por Pierre de Fermat con el que formuló su famoso último Teorema. El momento histórico es hacia mediados del siglo XVII. Fermat, un abogado aficionado a las matemáticas, escribió en los márgenes del citado libro sus descubrimientos en torno a la Teoría de los Números, muchos de los cuales supusieron avances importantes de las matemáticas de su tiempo. En particular escribió la afirmación anterior que, en román paladino, podemos traducir así:La ecuación x^n+y^n=z^n, cuando n es un número entero igual o mayor que 3 carece de soluciones enteras tales que el producto de x, y y z sea distinto de cero.

Es sabido que Fermat afirmó poseer una demostración maravillosa de este hecho pero que su longitud la incapacitaba para poder ser escrita en los márgenes del libro de: Diofanto.

Desde un principio el último Teorema de Fermat se convirtió en objeto de deseo de los matemáticos de todas las épocas y varias academias científicas ofrecieron premios por su solución. Parte de la fascinación del problema consiste en la sencillez de su enunciado, que atañe a los números enteros 1,2,3... y que puede ser entendido por la generalidad de las personas sin excesivo esfuerzo.

Por otro lado, la ecuación de Fermat es una extensión natural de las ternas pitagóricas, conocidas por los griegos e incluso por los constructores de pirámides egipcios, es decir, triángulos rectángulos cuyos lados tienen longitudes enteras, tales como:

32 +42 = 52,

122 + 52 = 132.........Algunos casos particulares del teorema, por ejempo n=3 o n=4 fueron conocidos enseguida como consecuencia de métodos más o menos ingeniosos inventados por Euler o incluso por Fermat.

La lista de matemáticos de primera fila que contribuyeron a enriquecer el conocimiento del problema durante los pasados siglos XVIII y XIX es enorme. En el empeño se descubrieron teorías maravillosas como la teoría de ideales de Kummer y se amplió el universo de las matemáticas.

A veces estos temas encontraban aplicaciones en áreas aparentemente alejadas del entorno del problema de Fermat que durante estos siglos se ha ido cada vez más erigiendo como un desafío al ingenio humano: el último Teorema de Fermat, junto con la hipótesis de Riemann y la conjetura de Poincaré, ha constituido la trilogía de problemas abiertos más famosos de las matemáticas de estos siglos.

Si se confirma que la demostración de Andrew Wiles es correcta, habrá caído un mito y no cabe duda que una cierta nostalgia recorrerá el universo de las matemáticas.

No obstante, no cabe decir que se trata de una sorpresa total. Desde hace unos años existe un programa basado en la teoría de las formas modulares, con influencia de la geometría hiperbólica de Poincaré, y elaborado en términos del sofisticado lenguaje de la geometría algebraica, que permitió relacionar el último Teorema de Fermat con otras conjeturas, plausibles y en principio asequibles, de la teoría de curvas algebraicas y formas modulares.

En particular, la conjetura llamada de Tamiyama-Shimura-Weil que, según demostró Kenneth Ribet, implicaba el Teorema de Fermat.

Aunque carezco de información precisa, todo parece indicar que la demostración de Andrew Wiles tiene la virtud de completar el rompecabezas elaborado durante estos últimos años. Wiles es un excelente profesional profesor de la universidad de Princeton (EE UU) y está considerado como uno de los mejores artistas de su área. Un compañero de Princeton al que telefoneé el jueves por la noche me confirmó que, al parecer, Wiles ha mantenido en secreto durante anos la demostración, con objeto de poder comprobar, junto a un reducido número de expertos, todos los pasos de su orfebrería que, seguramente, es muy complicada.

Se debe a la austeridad de la tradición matemática y a la espectacularidad del caso que ésta sea la manera de proceder. Un matemático aprende a exigirse las mayores garantías antes de publicar un resultado; es quizás algo prematuro para lanzar todas las campanas al vuelo pero los nombres que han aparecido involucrados, que conozco personalmente de mis años en Princeton, me merecen todas las garantías.

Como suele resultar en matemáticas, es muy difícil predecir las aplicaciones del resultado y de las técnicas de su demostración en otras áreas, pero haberlas las habrá. Mientras tanto, no cabe duda de que una cima de la cultura humana universal ha sido escalada.