Nuevas técnicas para estudiar mezclas de fluidos turbulentos

Uno de los grandes logros de las matemáticas es ofrecer modelos que predicen la evolución de sistemas físicos basados en principios básicos. Desde tiempos de Isaac Newton, las llamadas ecuaciones diferenciales constituyen uno de los modelos más eficaces. Para estudiar estas ecuaciones habitualmente se emplean métodos avanzados de la teoría de ecuaciones en derivadas parciales, bien entendidos por los investigadores. Pero cuando aparecen situaciones inestables, estos fallan. Es necesario, por tanto, inventar enfoques radicalmente distintos, cuyo desarrollo es un reto de la investigación actual.

Las inestabilidades aparecen constantemente tanto en la teoría matemática como en la naturaleza. Un ejemplo es la evolución de dos fluidos distintos que se mezclan, como el agua y el vino, o el agua y el petróleo. Esta última situación –especialmente, cuando sucede en un medio poroso– tiene una gran importancia práctica. En 1930 el ingeniero Morris Muskat buscaba la forma de extraer petróleo mediante la inyección en la tierra de agua a presión. Para modelizar la evolución de los fluidos ideó un sistema de tres ecuaciones en derivadas parciales acopladas, que se corresponden a la ley de conservación de la masa, la conservación del volumen ocupado por los fluidos (incompresibles) y la ley (constitutiva) de Darcy. Esta última postula que, en un medio poroso, la velocidad del flujo es proporcional a la suma de las fuerzas que actúan sobre él; en este caso, la presión y la gravedad.

Lo que conocemos como el problema de Muskat entraña una dificultad especial en el caso en el que el fluido más denso yace por encima del otro, debido a que la fuerza la gravedad introduce una inestabilidad en el sistema que provoca que los métodos clásicos no se puedan aplicar

La resolución de estas ecuaciones, que es lo que hoy en día conocemos como el problema de Muskat, entraña una dificultad especial en el caso en el que el fluido más denso yace por encima del otro, debido a que la fuerza la gravedad introduce una inestabilidad (la de Rayleigh-Taylor) en el sistema, que provoca que los métodos clásicos no se puedan aplicar.

Recientemente se ha conseguido hallar soluciones al problema. Estas soluciones predicen la formación de una zona donde los fluidos se mezclan desarrollando un extraño, caótico e irregular patrón llamado “dedos viscosos”, observado experimentalmente. De alguna manera, las soluciones encuentran cierto orden en la turbulencia, prediciendo el tamaño y forma de esta zona de mezcla.

Para llegar a estas soluciones ha sido clave la respuesta a un famoso problema en geometría diferencial, sobre deformaciones de la esfera. Es fácil reducir una esfera de radio uno a otra de radio 0.25 simplemente encogiéndola. También parece fácil meter una esfera de radio uno en una de 0.25 sin encogerla si nos permiten arrugarla mucho. Pero ¿qué pasa si no nos permiten ni encogerla ni arrugarla mucho? ¿Podemos todavía meter una en la otra? En los años 50 del siglo pasado, el matemático John Nash demostró que sí, se puede deformar la esfera de radio uno para meterla dentro de una de radio tan pequeño como se quiera sin que aparezcan esquinas o arrugas muy pronunciadas y sin encogerla, mediante infinitas dobleces cuidadosamente seleccionadas.

En 2008, dos jóvenes matemáticos, Camillo De Lellis y László Székelyhidi Jr., descubrieron que la teoría de integración convexa podía ser adaptada a la mecánica de fluidos

Este resultado imposible constituyó el embrión de un nuevo concepto matemático, la integración convexa, crucial desde entonces en la geometría diferencial. En 2008, dos jóvenes matemáticos, Camillo De Lellis y László Székelyhidi Jr., descubrieron que la teoría de integración convexa podía ser adaptada a la mecánica de fluidos. Con ella, obtuvieron nuevas soluciones para las ecuaciones de Euler (la ecuación madre de todas las ecuaciones de fluidos) con un comportamiento sorprendente y que fueron bautizadas como “soluciones salvajes”, debido a su irregularidad. Su construcción es una auténtica obra de orfebrería matemática y ha dado lugar a herramientas que permiten atacar otros problemas, como por ejemplo el del régimen inestable de Muskat.

Desde un punto de vista físico, la clave es la dualidad entre la descripción macroscópica y microscópica del fluido. Macroscópicamente la evolución es la de un movimiento clásico: el fluido más pesado va intercambiándose poco a poco con el más ligero. Microscópicamente la evolución es altamente irregular y describe un patrón semejante al que está presente en la elaboración de modernos metamateriales. Volviendo a las ideas de Nash, la interpretación macroscópica del fluido se corresponde con el encogimiento natural de la esfera que no preserva las distancias, y la versión microscópica a los dobleces de Nash.

En los regímenes turbulentos el comportamiento macroscópico de las soluciones viene descrito por la relajación –es decir, menor exigencia– de las relaciones no lineales del problema. En la versión macroscópica del problema Muskat, la relación de flujo igual a masa por velocidad se substituye por flujo “no demasiado distinto” de masa por velocidad. De forma rigurosa esta relación se expresa geométricamente imponiendo que el flujo, la velocidad y la densidad pertenezcan a un conjunto de cinco dimensiones conocido como la relajación del problema de Muskat.

Tras un análisis puramente geométrico, las dificultades continúan, porque no existe teoría para resolver las nuevas ecuaciones relajadas

Por tanto, el primer objetivo es entender la geometría de este espacio. Tras este análisis puramente geométrico las dificultades continúan, porque no existe teoría para resolver las nuevas ecuaciones relajadas. Sin embargo, en un trabajo que saldrá publicado en la revista Inventiones Mathematicae se ha postulado una estrategia, matemáticamente innovadora, para abordar y resolver dichas ecuaciones relajadas.

De este modo, el programa que estamos desarrollando propone una manera sistemática de abordar problemas físicamente inestables, que hasta este momento eran inaccesibles para la teoría. Por supuesto, estos trabajos generan nuevas preguntas fascinantes: ¿debemos modificar las tradicionales relaciones constitutivas en regímenes turbulentos?, ¿podemos llegar a nuevos conceptos en física teórica a partir de estas soluciones salvajes?… Como siempre ocurre en ciencia, una respuesta es la puerta para mil preguntas nuevas.

Ángel Castro y Diego Córdoba son investigadores del ICMAT, Daniel Faraco es profesor de la Universidad Autónoma de Madrid y miembro del ICMAT

Edición y coordinación: Ágata A. Timón G-Longoria (ICMAT)

Café y Teoremas es una sección dedicada a las matemáticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los últimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matemáticas y otras expresiones sociales y culturales y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar café en teoremas. El nombre evoca la definición del matemático húngaro Alfred Rényi: “Un matemático es una máquina que transforma café en teoremas”.

Puedes seguir a MATERIA en Facebook, Twitter e Instagram, o apuntarte aquí para recibir nuestra newsletter semanal.