Números de Dudeney

Se puede estimar “a ojo” el área del abeto fractal de la semana pasada viendo que la razón de su área y la del triángulo isósceles que lo contiene disminuye a medida que aumenta la altura del triángulo. En el límite inferior (cuando el triángulo isósceles decrece hasta coincidir con el equilátero), la razón es 1, y en el límite superior, cuando la altura del isósceles tiende a infinito, los equiláteros apilados son todos iguales y ocupan la mitad del área del isósceles (convertido en rectángulo infinito). Por tanto, el área del abeto fractal mide entre 1 y 1/2 del área del triángulo isósceles que lo contiene, y puesto que en el caso que nos ocupa dicha área es 2 x 1/2 = 1 metro cuadrado, podemos estimar el área del abeto en unos 0.7 m² (en la sección de comentarios de la semana pasada se discuten varias formas de abordar el problema).

En cuanto al acertijo navideño de Dudeney, sabemos que cada uno de los 7 hombres casados besó a 1 mujer casada (la suya), a 3 viudas y a 10 solteras: 14 x 7 = 98 besos; cada casada (7) besó a 1 casado (su marido), a 12 solteros, a 10 solteras y a 3 viudas: 26 x 7 = 182 besos; cada viuda (3) besó a todas las demás personas menos a las otras viudas: 36 x 3 = 108 besos; cada soltero (12) besó 2 veces a las 10 solteras, a las 3 viudas y a las 7 casadas: 30 x 12 = 360 besos; y cada soltera (10) besó 2 veces a los 12 solteros, a las otras 9 solteras, a las 3 viudas, a las 7 casadas y a los 7 casados: 50 x 10 = 500 besos. En total, salvo error u omisión, 1248 besos; pero al hacer la suma de este modo hemos contado cada beso dos veces, pues el que A le da a B es el mismo que el que B le da a A, por lo que el número real de ósculos navideños es 624.

El otro Dudeney

El sencillo acertijo anterior no da la medida del versátil ingenio de Henry Dudeney, así que, para hacerle justicia, veamos dos aportaciones más originales e interesantes.

En la figura superior, tomada de la primera edición de uno de los libros de Dudeney, vemos una clara posición de jaque mate; pero ¿cómo se ha llegado a ella? A señalar que, con este problema y otros similares, Dudeney se anticipó al “ajedrez retrógrado” posteriormente desarrollado por Raymond Smullyan, que nos ha dejado pequeñas joyas como esta:

En este tablero alguien puso un caballo de otro juego de piezas. Averiguar cuál de los tres caballos blancos es el intruso, sabiendo que el rey negro puede enrocarse y el blanco no se ha movido.

La segunda aportación digna de ser tenida en cuenta tiene que ver con la teoría de números:

Un número de Dudeney es un cubo perfecto tal que la suma de sus dígitos es igual a la raíz cúbica de dicho número; por ejemplo, 512 = 83, 5 + 1 + 2 = 8.

Invito a mis sagaces lectoras/es a encontrar más números de Dudeney y a reflexionar sobre ellos.

Carlo Frabetti es escritor y matemático, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado más de 50 obras de divulgación científica para adultos, niños y jóvenes, entre ellos ‘Maldita física’, ‘Malditas matemáticas’ o ‘El gran juego’. Fue guionista de ‘La bola de cristal’.

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