Los dados de Sicherman

Nos preguntábamos la semana pasada de cuántas maneras se pueden distribuir los números del 1 al 6 en un dado convencional. Si respetamos la norma de que las caras opuestas sumen 7, es fácil ver que solo hay dos posibilidades, la una imagen especular de la otra. En un caso los números 1, 2, 3, cuyas caras coinciden en un vértice, irán en el sentido de las agujas del reloj, y en sentido contrario en el otro caso. En el popular juego de “la generala”, que se juega con cinco dados y un cubilete, cuatro de los dados suelen ser de un tipo y uno del otro.

La distribución convencional con números que suman 7 en las caras opuestas facilita la homologación de los dados; pero las caras se podrían numerar del 1 al 6 de cualquier otra forma sin afectar al comportamiento de los dados. Si empezamos poniendo el 1 en una cara, en la opuesta tenemos cinco posibilidades (los números del 2 al 6), y para cada uno de estos cinco casos podemos ocupar otro par de caras opuestas de tres maneras distintas. Y en cada uno de estos 15 casos podemos colocar los dos números restantes de dos maneras, simétricas espectacularmente; por tanto, podemos distribuir los números del 1 al 6, en un dado cúbico, de 30 maneras distintas. Nuestro asiduo comentarista Salva Fuster da la siguiente solución a las distintas distribuciones en los “dados platónicos”:

Tetraedro: 2 posibilidades.

Cubo: 30 posibilidades (4!+4!/4).

Octaedro: 1680 posibilidades (6!+6!+6!/3).

Para el octaedro, una vez escogido el 1, únicamente veo 3 casos diferentes para escoger el 2, es decir, en una cara adyacente, en la opuesta, o en cualquiera de las otras 3. Pero cuando está en la cara opuesta, hay una simetría por giros de 120º que dividen los casos entre 3.

Dados locos

Lanzando a la vez dos dados convencionales, podemos obtener una puntuación conjunta comprendida entre 2 y 12; pero, obviamente, las distintas puntuaciones no son equiprobables; solo hay una forma de sacar un 2: con un 1 en cada dado, pero podemos sacar un 7 de seis maneras distintas: 1-6, 6-1, 2-5, 5-2, 3-4, 4-3. Puesto que hay 36 maneras de emparejar las caras de dos dados (cada cara del primero puede emparejarse con cada cara del segundo: 6 x 6 = 36), la probabilidad de sacar un 2 es 1/36, mientras que la probabilidad de sacar un 7 es 6/36 = 1/6.

Cabe preguntarse si hay otra manera de numerar dos dados de manera que la distribución de probabilidades sea la misma que la de dos dados convencionales. Y los dados de Sicherman son la respuesta. Unos dados que parecen haberse vuelto locos: en uno de ellos se repiten el 2 y el 3, y faltan el 5 y el 6; y en el otro, el 2 se ha convertido en un 8.

Pero estos dados estrambóticos, ideados por George Sicherman en los años setenta del siglo pasado y dados a conocer por Martin Gardner en su sección de juegos matemáticos de Scientific American, tienen la propiedad de que dan lugar a la misma distribución de probabilidades que los dados convencionales. Así, solo hay una forma de sacar 2 (1-1) y de sacar 12 (4-8), mientras que hay seis maneras de sacar 7 (1-6. 2-5, 2-5, 3-4, 3-4, 4-3).

¿Hay otros “dados locos” con la misma distribución probabilística, o los de Sicherman son únicos en su especie?

En los dados de Sicherman también se distribuyen los puntos de manera que las caras opuestas sumen lo mismo (5 en el primero y 9 en el segundo). Puesto que en el segundo dado hay seis números distintos, el número de configuraciones posibles será el mismo que en el caso de los dados convencionales (30); pero en el primero se repiten el 2 y el 3, por lo que habrá menos configuraciones posibles. ¿De cuántas maneras distintas se pueden distribuir los números en el primer dado de Sicherman?

Otrosí: ¿podemos numerar las caras de dos dados cúbicos de forma que, al lanzarlos juntos, todas las posibles sumas de puntos sean equiprobables? Hay una solución trivial que consiste en que uno de los dados tenga el mismo número en todas las caras; pero eso equivaldría a lanzar un solo dado.

Carlo Frabetti es escritor y matemático, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado más de 50 obras de divulgación científica para adultos, niños y jóvenes, entre ellos ‘Maldita física’, ‘Malditas matemáticas’ o ‘El gran juego’. Fue guionista de ‘La bola de cristal’.

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