Paridad

¿Cuánto mide el radio del círculo inscrito en un triángulo de lados 3, 4 y 5?, nos preguntábamos la semana pasada. El radio del círculo inscrito en un triángulo rectángulo viene dado por la sencilla fórmula r = 1/2 (b + c – a), donde a es la hipotenusa y b y c son los catetos (¿cómo se obtiene esta fórmula?); por lo tanto, el radio del círculo inscrito en el triángulo de lados 3, 4 y 5 es r = 1/2 (4 + 3 – 5) = 1.

De la fórmula anterior se desprende que para demostrar que el radio de un círculo inscrito en un triángulo pitagórico (un triángulo rectángulo con los tres lados enteros) es un número entero, basta demostrar que b + c – a es par, para lo cual solo hay que contemplar los tres casos posibles desde el punto de vista de la paridad:

-si ambos catetos son pares, la hipotenusa también es par, luego b + c – a es par;

-si ambos catetos son impares, su suma es par y la hipotenusa es par, luego b + c – a es par;

-si un cateto es par y el otro impar, la hipotenusa es impar, luego b + c – a es par.

Si en el famoso problema del ajedrez y los granos de trigo nos quedamos a la mitad del tablero, tendremos tantos granos como sonatinas puede generar el sonatrón, puesto que 416 = 232. Y la terminación de este número nos brinda otro sencillo ejemplo de resolución por paridad: las potencias impares de 4 terminan en 4 y las pares terminan en 6, por lo que el número en cuestión terminará en 6. En cuanto a la penúltima cifra, va tomando los diez valores posibles según el ciclo 0165298347, por lo que la de la potencia 16 será un 9, que es el dígito que ocupa el 6º lugar (16 – 10) en el ciclo.

Y hablando de paridad, el “hueso duro de roer” de la semana pasada (demostrar que si a² + b² es divisible por ab + 1, el cociente es un cuadrado perfecto) también se puede abordar desde esta perspectiva, aunque creo que no es el camino más corto. En el momento de escribir estas líneas, nadie ha mandado una solución propia (no vale cortipegar soluciones de internet, sobre todo si son poco claras), de modo que, de acuerdo con las normas antispoiler de esta sección, queda pendiente.

Si en el famoso problema del ajedrez y los granos de trigo nos quedamos a la mitad del tablero, tendremos tantos granos como sonatinas puede generar el sonatrón, puesto que 416 = 232. Y la terminación de este número nos brinda otro sencillo ejemplo de resolución por paridad

A un nivel más anecdótico, pero no del todo irrelevante, el hecho de que en Italia la palabra miliardo sea de uso común y en España “millardo” sea tan inusual que hasta puede inducir a error, tiene que ver con la unidad monetaria: el valor de la lira -como el del franco viejo- era unas diez veces inferior al de la peseta, por lo que ser millonario en liras no era gran cosa, y un ricachón era un miliardario. Con la introducción del euro, el término “millonario” vuelve a tener validez universal.

Apretones de manos y saltos de caballo

Siguiendo con el inagotable e instructivo tema de la paridad, en estos momentos en que está desaconsejado el tradicional apretón de manos, cabe hacerse la siguiente pregunta:

El número de personas que a lo largo de su vida han estrechado la mano a un número impar de personas, ¿es par o impar?

Y ya que se ha mencionado el tablero de ajedrez:

¿Puede un caballo que está en la casilla inferior izquierda del tablero ir a la casilla superior derecha pasando una y solo una vez por todas las demás casillas?

Y para terminar, uno tomado de la excelente página de divulgación matemática Gaussianos:

El popular juego de “pares o nones” es tan equitativo como “cara o cruz”; pero ¿es así también en el mundo del ratón Mickey o de los Simpson?

Carlo Frabetti es escritor y matemático, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado más de 50 obras de divulgación científica para adultos, niños y jóvenes, entre ellos Maldita física, Malditas matemáticas o El gran juego. Fue guionista de La bola de cristal.

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