Detectius matemàtics per destapar fraus a la Loteria de Nadal

Encara que tothom hi acabi jugant, en el fons sabem que és molt poc probable guanyar la loteria. En concret, a la Loteria de Nadal, comprant un sol bitllet es té una probabilitat d'1 entre 100.000 de tenir el número guanyador. Com explicava el matemàtic de la Universitat de Victoria (Canadà) Florin Diacu en un article anterior a EL PAÍS, és molt més fàcil que t'atropelli un cotxe. Comprant més números, les possibilitats de guanyar augmenten, però el creixement de la possibilitat de ser el guanyador és més lent que no pas la inversió que requereix: comprar la sort resulta molt car.

Encara és més insòlit que et toqui dues vegades. Casos com el de Carlos Fabra, expresident del PP de Castelló i expresident de la diputació, que va afirmar que havia guanyat almenys quatre vegades la Loteria de Nadal, sumant 2,2 milions d'euros en premis grans, entre els anys 2000 i 2011, són poc probables. Per resultar premiat tantes vegades consecutives, hi has de jugar molt. El 2014 un grup d'estadístics i probabilistes nord-americans, en col·laboració amb un periodista d'investigació, van establir una cota mínima de la despesa del jugador fent servir tècniques matemàtiques de l'anomenada investigació operativa, amb l'objectiu d'identificar fraus en el joc. Distingien dos tipus de sort: “plausible” i “no plausible”.

En concret, van estudiar els casos de deu persones que asseguraven que havien guanyat més de 80 vegades més de 600 dòlars a la Loteria de Florida, que són els premis dels quals es té registre. El que més n'acumulava deia que havia guanyat 252 vegades, i havia sumat un total de 719.000 dòlars. Per descomptat, la situació era cridanera, però buscaven proves matemàtiques que confirmessin la sospita, perquè en principi fins i tot els fets més estranys, com el de Fabra, poden succeir. “Algú que assegura que ha guanyat diversos premis seguits no ha d'estar mentint necessàriament”, asseguren en l'article. És possible que estiguin gastant molts diners en loteria i tinguin una mica de sort; de fet, aquesta és la il·lusió que venen els sorteigs: pots comprar un sol tiquet i esdevenir multimilionari.

“Algú que assegura haver guanyat diversos premis seguits no ha d’estar mentint necessàriament”

No obstant això, habitualment no és així. Per identificar matemàticament el crim, en primer lloc es van preguntar: durant quant de temps pot seguir guanyant un jugador? Això es relaciona amb l'anomenada esperança matemàtica, que ve donada per una fórmula que depèn de la probabilitat del joc. Per exemple, si en una rifa de 200 números, cada un es ven per tres euros, i el premi és una bicicleta valorada en 300 euros, l'esperança de cada tiquet és d'1,5. No és el valor que es pot obtenir (de fet, cada número només pot valer 0 o 300), sinó més aviat la mitjana dels valors de tots els bitllets. A més, és una pista del que passarà si es juga durant molt de temps al mateix sorteig. Quan l'esperança del valor del bitllet (el guany mitjà menys el seu preu) és negativa, com acostuma a passar en gairebé tots els sorteigs, el jugador acabarà perdent diners.

En l'estudi de la Loteria de Florida els investigadors aplicaven aquesta esperança, a més de la llei dels grans números, per afirmar que, amb total probabilitat, abans o després el jugador es quedarà sense diners. Però quant podrà jugar fins a perdre-ho tot? Suposant que disposa d'un capital de partida S i que només compra bitllets d'un tipus una vegada i una altra, invertint els seus guanys en el joc, els investigadors van proposar una fórmula per determinar el nombre de premis que es podrien guanyar abans de perdre, en relació amb la probabilitat de guanyar en el joc, els diners inicials, i altres variables.

Però aquesta fórmula per si sola no val per tenir una certesa estadística del frau. Amb aquesta informació estudiaven, sobre el nombre total d'apostes, quin és el mínim de diners que hauria d'apostar el jugador sospitós de manera que si tots els residents de Florida gastessin els mateixos diners, les possibilitats que algú pogués guanyar el mateix nombre de vegades que el jugador en qüestió fossin encara menors d'un sobre un milió. Si aquesta quantitat és massa gran en comparació dels mitjans de què disposa el jugador, llavors existeix evidència estadística d'estafa. Van concloure que dos dels deu sospitosos podrien simplement haver tingut sort, però la resta estaven estafant. La investigació matemàtica va casar amb total perfecció amb la investigació criminal que es va fer després. “El tipus de coincidències que s'identifiquen en l'article van ser analitzades per detectius, mostrant que aquesta gent estava, en efecte, cometent crims”, assenyala Skip Garibaldi, catedràtic del departament de matemàtiques d'Emory i director associat de l'Institut de Matemàtiques Pures i Aplicades de l'UCLA. Aquest delicte consisteix a comprar bitllets de loteria premiats, per un valor una mica superior al guanyador original, i és un mètode habitual utilitzat per blanquejar diners no justificats.

Ágata A. Timón és membre de l'Institut de Ciències Matemàtiques (ICMAT)