El lento Aquiles y la veloz tortuga

Se puede demostrar que la serie armónica es divergente (o sea, que crece indefinidamente) sin más que agrupar sus términos de la siguiente manera:

1 + 1/2 + (1/3 + 1/4) + (1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8)…

Evidentemente, la serie es mayor que esta otra:

1 + 1/2 + (1/4 + 1/4) + (1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8)… = 1 + 1/2 + 1/2 + 1/2…

Y puesto que la segunda crece indefinidamente, pues podemos sumarle 1/2 tantas veces como queramos, la primera también.

En cuanto al límite de 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16…, es 2. Basta con darse cuenta de que la suma de los n primeros términos de la serie es igual a 2 menos el término enésimo, que puede ser tan pequeño como queramos; así:

1 + 1/2 = 2 – 1/2

1 + 1/2 + 1/4 = 2 – 1/4

1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 = 2 – 1/8…

Sobre la relación de esta serie (cuyo término general es 1/2ⁿ, pues se trata de 1 dividido por las sucesivas potencias de 2) con la conocida paradoja de Aquiles y la tortuga, nadie ha hecho el menor comentario, así que luego volveremos sobre ello.

La relación de la sucesión de Fibonacci (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13…) con la divina proporción no podría ser más estrecha: si dividimos cada término de la sucesión por el anterior, nos vamos acercando rápidamente al número áureo (1.618…) alternativamente por defecto y por exceso:

1/1 = 1

2/1 = 2

3/2 = 1.5

5/3 = 1.666…

8/5 = 1.6

13/8 = 1.625…

Si llamamos a y b a dos números de Fibonacci consecutivos cualesquiera, los ochos siguientes serán a+b, a+2b, 2a+3b, 3a+5b, 5a+8b, 8a+13b, 13a+21b y 21a+34b. La suma de los diez términos será, por tanto, 55a+88b, que es el séptimo término (5a+8b) multiplicado por 11.

Las paradojas de Zenón

Para simplificar, imaginemos a un Aquiles muy lento (debido a un problemilla en el talón), que solo avanza 1 metro por segundo, y a una tortuga muy rápida, cuya velocidad es de 1/2 metro por segundo.

La "paradoja de Aquiles y la tortuga", de Zenón de Elea, es una de las más famosas sobre el movimiento

Si al inicio de la carrera la tortuga está 1 metro por delante, cuando Aquiles haya recorrido ese metro la tortuga habrá recorrido 1/2 metro, cuando el de los pies ligeros (es un decir) haya recorrido ese medio metro la tortuga habrá recorrido 1/4, y así sucesivamente, con lo que la aproximación del lento Aquiles a la veloz tortuga se puede expresar mediante la serie de los inversos de las potencias de 2:

1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16…

De paso, hemos hallado una forma “física” de demostrar que el límite de la serie es 2: puesto que la velocidad relativa de Aquiles con respecto a la tortuga es de 0.5 m/s, tardará 2 segundos en cubrir el metro que los separa, y la distancia recorrida será 2 metros.

La de Aquiles y la tortuga es la más famosa de las paradojas de Zenón de Elea (no confundir con Zenón el Estoico) sobre el movimiento, pero no la única ni la más inquietante. Veamos una variante moderna:

Una mosca choca frontalmente contra la locomotora de un tren que va en sentido contrario. Puesto que la mosca (o lo que quede de ella) se mueve tras el choque en sentido opuesto al anterior, en algún momento su velocidad tiene que haber sido cero (puesto que ha pasado de positiva a negativa con respecto a su eje direccional); pero en ese momento la mosca estaba pegada a la locomotora, por lo que la velocidad del tren también ha tenido que ser cero por un instante, que es como decir que la mosca ha parado al tren… ¿Pueden nuestros sagaces lectores y lectoras explicar este extraño fenómeno?

Carlo Frabetti es escritor y matemático, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado más de 50 obras de divulgación científica para adultos, niños y jóvenes, entre ellosMaldita física, Malditas matemáticas o El gran juego. Fue guionista de La bola de cristal.