¿Son las matemáticas una invención?

A la cabeza de la lista de los enigmas sin resolver de la ciencia, como qué es la conciencia y cómo empezó la vida, figura el misterio más profundo de todos: ¿por qué parece seguir el universo leyes matemáticas? Según la teoría del Bing Bang, la materia, la energía, el espacio y el tiempo fueron creados durante la explosión original. Al parecer, instantáneamente, todo empezó a evolucionar según un plan matemático. Pero, ¿de dónde salieron las matemáticas? ¿Cuáles son los orígenes de los números y de las relaciones a las que obedecen?Los seguidores del matemático griego Pitágoras decían que los números eran los elementos básicos del universo. Desde entonces, los científicos han abrazado una especie de creacionismo matemático: Dios es un gran matemático que exclamó: "¡Que se hagan los números!", antes de decir, "¡que se haga la luz!".

Por lo general, los científicos usan el concepto de Dios metafóricamente. Pero, últimamente, la mayoría de ellos adoptan, al menos tácitamente, la filosofía de Platón, que propuso, bastante poco científicamente, que los números y las leyes matemáticas eran ideas etéreas que existían fuera del espacio y del tiempo en un reino fuera del alcance de la humanidad. Como el fin último de la ciencia es describir el universo sin invocar lo sobrenatural, el hecho de no conseguir explicar racionalmente la "efectividad irracional de las matemáticas", como dijo una vez el físico Eugene Wigner, es una especie de escándalo, una enorme laguna en el saber de la humanidad.

El matemático Reuben Hersh escribe en su libro What Is Mathematics Really? (Oxford University Press, 1997): "Nos negamos a enfrentarnos a este bochorno. Las entidades ideales independientes de la conciencia humana violan el empirismo de la ciencia moderna". Mientras la ciencia permanece anclada en observaciones del mundo físico, Hersh insiste en que las matemáticas son más bien una creación humana, como la literatura, la religión o la banca. El libro de Hersh es una de las diversas obras publicadas recientemente en las que se afirma que las matemáticas no son una esencia etérea, sino el producto de gente que más que descubrirlas, las inventó.

Aptitud innata

En The Number Sense: How the Mind Creates Mathematies (Oxford University Press, 1997), Stanislas Dehaene, un especialista en ciencias cognoscitivas reúne pruebas experimentales para demostrar la posibilidad de que el cerebro de los humanos -e incluso el de los chimpancés y el de las ratas- esté equipado al nacer con una aptitud innata activada para las matemáticas. Gregory J. Chaltin, matemático en el Centro de Investigación Thomas J. Watson de IBM, adopta una postura antiplatónica en The Limits of Mathematics (Springer, 1997).Dos científicos de Berkeley, George Lakoff y Rafael E. Núñez, trabajan en un libro en el que afirman que hasta los conceptos matemáticos más abstractos proceden de las experiencia humana, de la forma en que el cuerpo interactúa con el mundo.

Todos estos autores son matemáticos y científicos en activo, no críticos posmodernos que contemplan el panorama desde lejos. Rechazan enérgicamente a quienes intentan tachar las matemáticas y la ciencia de construcciones arbitrarias o de folclor propio de hombres blancos europeos. Pero rechazan igual de categóricamente lo que la mayoría de los matemáticos y muchos científicos han llegado a dar por hecho: el credo platónico.

Chaltin escribió: "El concepto normal de matemáticas puras es que las matemáticas tienen una especie de conexión directa con las ideas de Dios, con la verdad absoluta". Mientras que el conocimiento científico está sujeto a una revisión constante, las matemáticas se consideran habitualmente como eternas. Chaltin pidió a sus colegas que adoptasen un planteamiento "casi empírico" que trata las matemáticas como una compleja ciencia experimental más. Según él, "casi empírico significa que las matemáticas no son tan diferentes de la física".

Leopold Kronecker, un matemático del siglo XIX, dijo: "Los (números) enteros fueron creados por Dios: todo lo demás es obra del ser humano". Albert Einstein, que adoptó una postura diferente acerca de los números enteros, escribió que "la serie de enteros es evidentemente un invento de la mente humana, una herramienta de creación propia que simplifica el orden de determinadas experiencias sensoriales".

En The Number Sense, Dehaene llegó aún más lejos. Los enteros -en cualquier caso los más pequeños- están estrechamente conectados con los sistemas nerviosos por la evolución, junto con una habilidad rudimentaria para sumar y restar. Las matemáticas, en su opinión, están "grabadas en la estructura misma de nuestro cerebro". "Como vivimos en un mundo lleno de objetos diferenciados y móviles, nos resulta muy útil poder extraer los números", afirmó Dehaene hace poco en un foro publicado en Internet (http://www.edge.org) por Edge Foundation. "Esto puede ayudarnos a seguir la pista de los depredadores o a seleccionar los mejores terrenos para rastrear, por mencionar sólo unos ejemplos muy evidentes".

Al estudiar el cerebro dañado de pacientes que han perdido su capacidad numérica básica, Dehaene y otros colaboradores han examinado este módulo aritmético hasta un área del cerebro llamada corteza parietal inferior, un punto poco conocido en el que convergen las señales visuales, auditivas y táctiles. A los científicos les intrigan unos indicios de que esta región también está implicada en el procesamiento del lenguaje y en la distinción entre derecha e izquierda. Al fin y al cabo, las matemáticas son una especie de lenguaje íntimamente ligado al uso de los números para ordenar el espacio. La corteza parietal inferior también parece importante para la destreza manual y la aritmética empieza cuando aprendemos a contar con las manos. Los experimentos con imágenes en los que el cerebro de la gente es controlado mientras calcula señalan a esa misma región como primitivo procesador de números.

Si esta calculadora neurológica nos ha sido efectivamente legada por la evolución, deberíamos encontrar rastros de ella en otras especies. Para hacer esta afirmación, Dehaene se basa en unos experimentos realizados en las últimas décadas que indican que incluso las ratas tienen un sentido rudimentario del cálculo. Se enseñó a los animales a apretar una palanca A cuatro veces y después una palanca B para conseguir comida, o a apretar la palanca A cuando oyesen una secuencia de dos tonos y la palanca B cuando oyesen una secuencia de ocho tonos.

Aún más sorprendente fueron experimentos posteriores en los que primero se entrenó a las ratas para que asociasen la palanca A con dos tonos y la palanca B con cuatro tonos. A continuación, se les enseñó a asociar la palanca A con dos fogonazos de luz y la B con cuatro fogonazos. Cuando las ratas oían dos tonos y veían dos fogonazos, aprendían a apretar B, en vez de A. Parecían haber comprendido la idea de que dos más dos es igual a cuatro.

Las ratas no eran precisas. Cuando se les entrenaba para que apretasen una palanca cuatro veces, a menudo la apretaban cinco o seis veces, y esperaban la misma recompensa, o confundían una secuencia de siete tonos con otra de ocho tonos. Pero los experimentos apoyaron la idea de un procesador numérico neurológico primitivo, incluso en los roedores.

Creaciones neurológicas

En otros experimentos, los chimpances parecían aprender aritmética sencilla. Cuando se les ofrecía la opción entre una bandeja con un montoncito de tres trozos de chocolate y otro montón de cuatro y una segunda bandeja con montoncitos de dos y tres trozos, elegían la primera bandeja en la que había más dulces. Pero cuando la diferencia en el total de chocolate de las bandejas era un solo trozo, era menos probable que los chimpancés se percatasen de la diferencia. El sentido numérico es aproximado, no exacto. Experimentos más recientes con niños, utilizando juguetes, mostraron indicios de la misma clase de capacidad numérica básica en bebés de menos de cinco meses de edad.Dehaene dice que este instinto es innato, como cantar en los pájaros cantores o tejer la tela en el caso de las arañas. Los números no son ideales platónicos, sino creaciones neurológicas, herramientas que el cerebro utiliza para analizar el mundo. En ese sentido, son como los colores. Las manzanas rojas no son intrínsecamente rojas. Reflejan la luz en longitudes de onda que el cerebro, gracias a las conexiones proporcionadas por la evolución, interpreta como rojas.

Dehaene afirma que, aunque la gente nace con un conocimiento de las bases de la aritmética, para desarrollarlo hacen falta aprendizaje y creatividad. La multiplicación, la división y toda la superestructura de las matemáticas superiores -desde el álgebra y la trigonometría, hasta el cálculo, la geometría fractal y cosas aún más complejas- son una bonita improvisación, la obra de la cultura humana.

Este científico sugiere que la capacidad para entretejer ideas sencillas, como dos más dos igual a cuatro, en los tejidos de las matemáticas superiores no se diferencia de la capacidad humana para el lenguaje. La gente escoge una colección relativamente pequeña de palabras y, con unas cuantas reglas sencillas de gramáticay sintaxis, crea literatura.

En la Universidad de California en Berkeley, los científicos Lakoff y Núñez afirman que la fuente de las matemáticas está no sólo en el cerebro sino también en el cuerpo humano y en el mundo físico.

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La gente prefiere los sistemas numéricos basados en el 10 porque tiene 10 dedos en manos y pies.

Según esta teoría, llevados por un sentido numérico innato, los humanos primitivos exploraron las maravillas del cálculo jugando con sus dedos o poniendo piedras en un montón. Pero descubrieron que contar también podía servir para dar pasos en una línea y medir la distancia. Esto permitió con el tiempo el invento de conceptos más abstractos. Si se camina en un sentido se consiguen los enteros positivos, si se camina en sentido contrario se obtienen los enteros negativos. El punto de partida es cero.

La secuencia de números se puede seguir hasta el concepto de línea. Entonces, los números no son dedos ni piedras, sino puntos. Si se ponen dos líneas juntas en los ángulos adecuados se obtiene un plano cartesiano. Piso por piso, se va construyendo la torre de las matemáticas. Lakoff dijo hace poco: "Los estudiantes nunca entienden que las matemáticas son un esfuerzo creativo, son más gloriosas porque son una construcción de la humanidad". La matemática pura o el pensamiento puro no existen, son actividades físicas.

Incluso las elaboraciones más complejas de los matemáticos son contrastadas con el universo. De la infinita gama de creaciones matemáticas, los científicos conservan aquellas que les ayudan a explicar y predecir la realidad. Los matemáticos se recrean en las demás como fines en sí mismas, como los cuadros o las sinfonías.

Pero muchos científicos y matemáticos siguen dudando que la evolución -biológica o cultural- pueda explicar adecuadamente por qué las mateméticas son tan útiles para describir las leyes fundamentales del universo. Paul Davies (Universidad de Adelaida, Australia) afirma: "Nuestra capacidad para descubrir y describir matemáticamente las ecuaciones de Newton no tienen un valor de supervivencia inmediato. Esta idea es aún más patente, por ejemplo, en el caso de la mecánica cuántica. La razón por la que a la gente le cuesta entender la física cuántica es precisamente porque entenderla no tiene ningún valor de cara a la supervivencia". Según él, la razón por la que las matemáticas son tan eficaces sigue siendo un profundo misterio.

Algunos albergan esperanzas de que el misterio se podría resolver si los humanos se encontrasen con una civilización extraterrestre. Si las matemáticas son en efecto universales y eternas, los extraterrestres conocerían conceptos como pi, la relación entre la circunferencia de un círculo y su diámetro. Los platonistas afirman que hay un "pi en el cielo" (Pi in the sky), como dijo John D. Barrow en un libro con tal título (Oxford University Press, 1992).

Los antiplatonistas afirman que no hay razón para creer que los extraterrestres pudieran conocer inventos matemáticos de la Tierra. "La afirmación platónica de que toda inteligencia debe producir números primos, pi y la hipótesis del continuo es un ejemplo de simple antropomorfismo", opina Hersh. Pero si los terrícolas se quedasen perplejos ante las matemáticas extraterrestres, ¿habrían demostrado su postura los antiplatonistas? No necesariamente. Davies dice: "La inteligencia extraterrestre puede ser tan avanzada que sus matemáticas nos resulten demasiado difíciles de comprender. El cálculo habría dejado atónito a Pitágoras pero habría acabado aceptándolo".

¿Qué pasaría si humanos y extraterrestres se pudieran comunicar matemáticamente? "Si las especies extraterrestres hubieran evolucionado en un ambiente similar al nuestro -por ejemplo, en un mundo compuesto de objetos distintos y móviles- lo más probable es que hubieran incorporado, por selección natural, las mismas regularidades sobre el mundo exterior que nosotros y tendrían una aritmética y una geometría muy parecidas", dice Dehaene.

"Pero supongamos que las especies extraterrrestres hubieran evolucionado en un ambiente radicalmente diferente, por ejemplo, en un mundo fluido", continua. "En ese caso, el conocimiento de los objetos móviles no sería esencial para su supervivencia, mientras que el conocimiento de la mecánica de fluidos, los vórtices, etcétera, sí lo serían. Creo que esta hipotética especie habría asimilado en su cerebro regularidades asombrosamente diferentes de las nuestras. Por lo tanto, tendría unas matemáticas totalmente diferentes". Y el debate sigue en pie.

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