Luis Santaló y el nacimiento de la geometría integral en el exilio

La Residencia de Estudiantes es conocida por ser una institución cultural donde, entre otras cosas, se forjó la generación del 27. Sus pabellones, ubicados en Madrid, acogieron a grandes personalidades de las artes, como Federico García Lorca, Salvador Dalí o Luis Buñuel. Aunque es menos popular, la Residencia también tuvo su contribución al progreso científico y, en concreto, matemático. Allí empezó la historia académica de Luis Santaló, cuyo trabajo sentó las bases de una nueva área de investigación: la geometría integral.

Santaló llegó a la Residencia de Estudiantes desde Girona para realizar sus estudios en Ciencias Exactas en la Universidad Central –precedente de la Universidad Complutense de Madrid–. En esos años, Santaló forjó una especial relación con Julio Rey Pastor, gran impulsor de la investigación matemática en España y de su institucionalización.

Rey Pastor había realizado estancias en el extranjero, gracias a las pensiones de la Junta para la Ampliación de Estudios (JAE) que le había concedido Santiago Ramón y Cajal. En Alemania pudo completar su formación como geómetra, de la mano de grandes investigadores de la época como Hermann Schwarz, David Hilbert o Constantin Caratheodory. A su regreso, decidió crear el Laboratorio y Seminario Matemático, para facilitar a los alumnos el acceso a la investigación. Este se enmarcó dentro de una serie de laboratorios científicos y centros de investigación creados por la JAE. Algunos se encontraban en la propia Residencia de Estudiantes y tuvieron alumnos muy notables, como el Premio Nobel de Medicina Severo Ochoa.

Aquellos seminarios establecieron los cimientos de la futura trayectoria académica de Santaló. Animado por Rey Pastor, tras finalizar la licenciatura y un breve paso por la educación secundaria, solicitó una beca de la JAE para realizar su tesis doctoral en Hamburgo bajo la supervisión de Wilhelm Blaschke.

El matemático alemán estaba trabajando en un nuevo campo llamado geometría integral o probabilidad geométrica. En 1936 Santaló consiguió el grado de doctor, realizando importantes avances en esta nueva rama de las matemáticas. Pero sus investigaciones se vieron truncadas: en este mismo año estalló la Guerra Civil y Santaló se incorporó al ejército republicano, donde trabajó en cuestiones aeronáuticas –experiencia que le serviría para publicar dos libros sobre el tema–.

Al finalizar la guerra, Santaló cruzó la frontera hacia Francia, donde las autoridades dirigían a los republicanos hacia campos de concentración. Él consiguió huir y comunicarse con Rey Pastor, que estaba en Argentina, y Blaschke, en Alemania. Este último contactó con el famoso matemático Élie Cartan para solicitar su ayuda. Santaló fue arrestado por carecer de documentación y fue el mismo Cartan quien le sacó de la cárcel tras una acalorada discusión con los policías. Después de dar una serie de conferencias en el Instituto Henri Poincaré, puso rumbo a Argentina, gracias al visado que el ingeniero Esteban Terradas le había conseguido.

En Argentina progresó en su carrera como matemático y estableció los pilares de la geometría integral o probabilidad geométrica. Este campo se desarrolló como una rama de la llamada teoría de la medida, en la que las medidas están definidas en un espacio geométrico y poseen ciertas propiedades de invariancia. Este enfoque sirve para resolver problemas como la paradoja de Bertrand. Esta surge al preguntarse, dada una circunferencia y un triángulo equilátero inscrito en ella (como el de la imagen inferior): ¿cuál es la probabilidad de que, al pintar una cuerda al azar, su longitud sea mayor que la longitud del lado del triángulo inscrito en la circunferencia? Si elegimos los dos puntos extremos de la cuerda de manera aleatoria, la probabilidad es 1/3. Sin embargo, si escogemos de manera aleatoria el punto medio de la cuerda la probabilidad se reduce a 1/4. Esto nos lleva a una paradoja: distintas formas razonables de abordar el problema producen resultados divergentes.

Para darle solución, podemos considerar que la medida de probabilidad debe poseer ciertas simetrías. Por ejemplo, que dos observadores separados a una distancia deberían llegar a la misma conclusión (simetría traslacional) al igual que dos observadores que observan desde distintos ángulos (simetría rotacional). Como comentábamos, este tipo de invariancias son típicas de la probabilidad geométrica. Con estas bases, el físico teórico Edwin T. Jaynes concluyó que solo existe una distribución de probabilidad que satisfaga estas propiedades y esta da el resultado de 1/2.

Santaló continuó investigando, en contextos mucho más generales y abstractos, estas medidas invariantes bajo ciertos grupos de transformaciones, realizando importantes aportaciones (como la fórmula de Santaló). Muchas de ellas quedaron plasmadas en su libro Integral Geometry and Geometric Probability, que pronto se convertiría en una de las referencias clásicas del campo. Sus contribuciones fueron reconocidas en 1983 con el premio Príncipe de Asturias.

El impacto de sus ideas llega a otras áreas de las matemáticas en principio muy alejadas, como la dinámica de fluidos. Este es el caso de los llamados sándwiches íntegro-geométricos, que permiten estimar el número de ciertos objetos matemáticos (como puntos o curvas cerradas) contenidos en una región grande del espacio.

Usando los sándwiches íntegro-geométricos, aplicados a órbitas periódicas, puntos críticos, tubos de vorticidad y herraduras topológicas, se ha demostrado recientemente el comportamiento complejo que exhiben ciertos fluidos en equilibrio, anticipado por el famoso matemático ruso Vladimir Arnold en los años 60. Curiosamente, parte de este proyecto se ha desarrollado en los mismos pabellones de la Residencia de Estudiantes en la que Santaló entraba hace casi cien años y usando las herramientas de geometría integral que él empezaba a crear.

Álvaro Romaniega es doctor en Matemáticas por el Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT) y fue becario en Ciencias Naturales y Tecnología en la Residencia de Estudiantes. Actualmente es investigador en finanzas estocásticas.

Café y Teoremas es una sección dedicada a las matemáticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los últimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matemáticas y otras expresiones sociales y culturales y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar café en teoremas. El nombre evoca la definición del matemático húngaro Alfred Rényi: “Un matemático es una máquina que transforma café en teoremas”.

Edición y coordinación: Ágata A. Timón G Longoria (ICMAT).

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