150 años de la unificación de las fuerzas eléctrica y magnética

Si frotas un globo inflado contra tu cabello y luego lo sostienes cerca de tu cabeza, podrás ver cómo se levantan algunos pelos. Este sencillo experimento hace visible la electricidad y está relacionado con los imanes que tenemos pegados en la nevera. Aunque los globos no se adhieren a la nevera y al pasar un imán cerca de tu cabeza no se eriza el pelo, estos fenómenos son dos caras de la misma moneda. Efectivamente, ambos son formas en las que se muestra un mismo objeto físico: un campo electromagnético.

Sin embargo, durante siglos, los científicos creyeron que eran dos fenómenos diferentes, hasta que el físico matemático James Clerk Maxwell (1831-1879) propuso su teoría del electromagnetismo. En 1873, hace ahora 150 años, publicó el Tratado sobre electricidad y magnetismo, donde ofrece una descripción completa de su teoría. Sus ideas ya se habían publicado en artículos más cortos, pero este libro era más accesible para su consulta. También fue pensado como un manual para estudiantes de la Universidad de Cambridge. No los envidio: tiene más de 1.000 páginas y es famoso por ser endemoniadamente difícil de leer.

El tratado no solo unifica la electricidad y el magnetismo, sino también los dos enfoques con los que se había abordado el tema hasta el momento. El trabajo de Maxwell explica las observaciones experimentales —realizadas por físicos como Michael Faraday— y también ofrece interpretaciones de los teoremas abstractos —desarrollados por matemáticos, como Joseph-Louis Lagrange, George Stokes y George Green—, que ilustran su importancia en la práctica.

Para ello, propuso un conjunto de ecuaciones, llamadas ahora ecuaciones de Maxwell, que describen la relación entre la variación de un campo magnético y uno eléctrico durante un periodo de tiempo. Las ecuaciones de Maxwell, tal como aparecen en el tratado, son muy diferentes a su versión actual. Originalmente eran 20 ecuaciones, hasta que Oliver Heaviside las simplificó a cuatro, que es como se escriben hoy.

Las ecuaciones de Maxwell muestran que es imposible predecir la evolución temporal del campo magnético sin conocer el comportamiento del campo eléctrico, y viceversa. Estos deben considerarse como un único objeto

Son ecuaciones en derivadas parciales, es decir, ecuaciones que contienen derivadas con respecto a diferentes variables. Las derivadas describen el cambio de una cantidad física ante una pequeña variación de una variable concreta. La velocidad de un objeto, por ejemplo, describe la tasa de cambio de su posición, ante pequeñas variaciones de tiempo. Los objetos con una velocidad grande solo requieren una pequeña cantidad de tiempo para lograr un gran cambio en su posición. La velocidad de un objeto es, pues, la derivada temporal de su posición.

Las ecuaciones de Maxwell relacionan la derivada temporal del campo magnético con la derivada espacial del campo eléctrico —que describe la forma en la que el campo eléctrico se distribuye en el espacio—. Muestran que es imposible predecir la evolución temporal del campo magnético sin conocer el comportamiento del campo eléctrico y viceversa. Estos deben considerarse como un único objeto: un campo electromagnético. Asimismo, se deduce de las ecuaciones que un campo eléctrico que cambia con el tiempo induce un campo magnético y un campo magnético cambiante genera un campo eléctrico.

La resolución de las ecuaciones aporta una descripción matemática de la evolución temporal del campo eléctrico y magnético. Si conocemos el campo eléctrico y el campo magnético en el momento inicial, podemos predecir completamente su evolución en el tiempo.

Maxwell ofrece como ejemplo de campo electromagnético: la luz. Las aplicaciones de esto fueron inmensas, s ecuaciones iniciaron una revolución científica y dieron lugar a una serie de inventos en dispositivos electrónicos que cambiaron para siempre nuestra sociedad

En su tratado, Maxwell también ofrece un ejemplo de campo electromagnético: la luz. En aquel momento se sabía que la luz posee ciertas propiedades de una onda, como las observadas en los fenómenos de interferencia. Además, se sabía que la luz se mueve a una velocidad constante, que había sido calculada con bastante exactitud. Es fácil demostrar que una onda (matemáticamente hablando, una función trigonométrica, como el coseno o el seno), que se mueve exactamente con la velocidad de la luz, es solución a las ecuaciones de Maxwell. Por tanto, Maxwell llegó a la conclusión de que esa solución, esa onda electromagnética, es la luz. Además, las soluciones ondulatorias de las ecuaciones de Maxwell no solo tienen frecuencias de luz visible: también son ondas de radio o rayos X.

Las aplicaciones de esto son inmensas. Antes de Maxwell, si querías luz en tu hogar, tenías que encender una vela. Si querías comunicarte con alguien, que no estaba en la misma habitación, tenías que escribir una carta. No había coches, ni mucho menos coches eléctricos. Las ecuaciones de Maxwell iniciaron una revolución científica y dieron lugar a una serie de inventos de dispositivos electrónicos que cambiaron para siempre nuestra sociedad.

En cierta ocasión, preguntaron a Albert Einstein —otro gran unificador, cuya teoría de la relatividad unificó el espacio y el tiempo—, si se consideraba a hombros de Newton, es decir, si veía su trabajo como una continuación del de Isaac Newton, el unificador de la gravedad —terrestre— y la astronomía —celeste—. Su respuesta fue: “Estoy sostenido sobre los hombros de Maxwell”.

Benjamin Bode es investigador postdoctoral en el ICMAT.

Café y Teoremas es una sección dedicada a las matemáticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los últimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matemáticas y otras expresiones sociales y culturales y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar café en teoremas. El nombre evoca la definición del matemático húngaro Alfred Rényi: “Un matemático es una máquina que transforma café en teoremas”.

Edición y coordinación: Ágata A. Timón G Longoria (ICMAT).

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