Nudos que representan números, las matemáticas de los incas

Uno de los mantras favoritos de los matemáticos se atribuye a Galileo Galilei: el universo está escrito en clave matemática. Sin embargo, aunque las matemáticas son un lenguaje universal, la manera en que las describimos puede ser muy diferente. Por ejemplo, frente a la necesidad básica de contar, se desarrolló el concepto de número. Pero, en cada lugar, las matemáticas se vistieron con ropajes muy diversos para capturar la información de las cantidades: los babilonios usaban el sistema sexadecimal y escribían los números con muescas en tablillas de arcillas; los griegos usaban letras; los incas, los llamados quipus, que eran cuerdas anudadas. Los quipus han vuelto a la actualidad con la reciente publicación de la monumental novela El espía del Inca (Alfaguara), del peruano Rafael Dumett, protagonizada por un tejedor de quipus, dotado de extraordinarias habilidades aritméticas.

Los quipus fueron inventados para poder enviar información, a veces codificada, desde cualquier punto del imperio —que se extendía por gran parte de Sudamérica y era tan extenso y variado como el imperio romano— a la capital, Cuzco. La palabra quipu proviene del quechua y significa nudo. Así, los quipus son nudos que sirven para representar conceptos matemáticos —números—; siglos más tarde, las matemáticas modernas se ocuparán a su vez de estudiar y clasificar los nudos (con los extremos unidos).

El quipu más antiguo data del año 2.500 a.C. y fueron utilizados hasta la colonización del imperio español. Los conquistadores españoles los consideraron objetos idólatras y peligrosos, por lo que destruyeron muchos de ellos incinerándolos. Los quipus normalmente estaban hechos de algodón o lana de pelo de llama o alpaca. Se construyen con una cuerda principal, sin nudos, de la cual penden otras anudadas y de diversos colores, formas y tamaños. Los colores identifican sectores —por ejemplo, pardo es el correspondiente al gobierno; carmesí, es el del propio Inca, soberano del imperio; rojo, la guerra— mientras que los nudos indican cantidades — incluyendo el número cero, la ausencia de nudos—.

Cada cuerda contiene un grupo de nudos que representan un número. En el libro Código del quipu: un estudio en medios, matemáticas y cultura, Marcia Ascher y Robert Ascher determinan, tras analizar cientos de quipus, que existen tres tipos fundamentales de nudos: simples, que son nudos de una vuelta —y que, en el libro, se representan con una s—; largos, consistentes en un nudo con una o más vueltas adicionales (L); y con forma de ocho (E).

Los quipus emplean, como nuestros números indo-arábigos, la base decimal. Es decir, en la cuerda se diferencian posiciones, en cada una de las cuales se indican el número de unidades, decenas, centenas, millares, etc. que tiene el número representado. Los dígitos en la posición de unidades son representados por nudos largos—por ejemplo, el 4 es un nudo con cuatro vueltas—. Debido a la forma en que los nudos se atan, el 1 no puede ser mostrado de esta manera y está representado en esa posición por una figura en forma de ocho.

En las posiciones superiores —decenas, centenas, etc.— las cifras están representadas por grupos de nudos simples —por ejemplo, 40 se escribe con cuatro nudos simples seguidos, en la posición decena—. El cero es representado por la ausencia de un nudo en la posición apropiada. En el sistema de los Ascher, lo denotan con una X. Así, 804 quedaría descrito por 8s, X, 4L.

Los responsables de elaborar los quipus eran los llamados quipucamayoc, que aprendían su oficio en la yachay wasi o casa de enseñanza. Los quipucamayoc sabían sumar, restar, multiplicar y dividir, pero no se trataba de meros contables, ya que pertenecían a la nobleza, debían tener más de cincuenta años y formaban una casta cerrada.

Los quipucamayoc no empleaban los quipus para realizar operaciones —estos servían únicamente para almacenar y transmitir información— sino una especie de ábaco, llamado yupana, o el quipu de granos de maíz. No se sabe muy bien cómo funcionaba, pero se cree que era parecido a otros ábacos desarrollados en Europa y Oriente. En la novela de Dumett se describe como aprende por sí mismo a usarlo observando a los comerciantes.

Esta información, como mucha otra de la cultura inca, desapareció tras la llegada de los españoles; los incas no desarrollaron escritura, por lo que no quedaron registros escritos. Parte de sus matemáticas sí quedó capturada en nudos de cuerda que uno no puede dejar de preguntarse como hubieran evolucionado sin la conquista española.

Manuel de León es profesor de investigación del Consejo Superior de Investigaciones Científicas en el ICMAT y miembro de la Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales

Café y Teoremas es una sección dedicada a las matemáticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los últimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matemáticas y otras expresiones sociales y culturales y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar café en teoremas. El nombre evoca la definición del matemático húngaro Alfred Rényi: “Un matemático es una máquina que transforma café en teoremas”.

Edición y coordinación: Ágata A. Timón G Longoria (ICMAT).

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