Naipes y balas

Hablábamos la semana pasada de las distintas formas de barajar las cartas, y más concretamente del hojeo americano o riffle como la más adecuada para garantizar la aleatoriedad de su distribución. Parece razonable pensar que cuantas más veces y más meticulosamente barajemos las cartas, más desorden introduciremos en la baraja; pero, paradójicamente, no siempre es así. Como señala nuestro asiduo comentarista Francisco Montesinos:

“El método americano de barajar consta de dos operaciones: cortar e insertar las cartas de uno de los dos montones resultantes entre las del otro. El que baraja no siempre trata de que los montones resultantes sean iguales y nada impide que en los casos extremos un montón tenga una sola carta (o ninguna). Esta eventualidad la recoge el modelo del matemago al suponer que el número de cartas en cualquier montón sigue una distribución binomial. No obstante, lo más probable es que si n es par los dos montones sean de n/2 cartas. Supongamos que se barajan 10 cartas 6 veces y que los cortes se producen con montones iguales. El resultado es (o más exacto sería decir puede ser) el siguiente: 123456789(10)--->162738495(10)--->186429753(10)--->198765432(10)--->159483926(10)-->135792468(10)--->123456789(10). ¡Como si no hubiéramos barajado en absoluto!”.

De hecho, hay prestidigitadores que pueden conseguir este resultado tan contraintuitivo y devolverle a un mazo el orden que les interesa mantener aparentando barajar a conciencia.

Y pasando de las cartas a las balas, como en un típico saloon del viejo Oeste, Francisco también propuso el siguiente problema:

Dos tiradores, A y B, apuntan a un blanco y uno de ellos acierta. Se pide la probabilidad de que haya sido A sabiendo que suele acertar 3 de cada 4 disparos, mientras que B acierta solo uno de cada 4.

Es fácil liarse con las probabilidades, y, de hecho, este problema aparentemente sencillo ha suscitado un aluvión de comentarios e intrincadas elucubraciones. Por cierto, el problema recuerda un conocido clásico “de indios y vaqueros”:

Tres vaqueros disparan a la vez a un indio que huye a caballo. El primer tirador es bueno, y en esas circunstancias solo falla un disparo de cada seis; el segundo es mediocre, y solo acierta la mitad de las veces; y el tercero es muy malo: solo acierta una vez de cada seis. ¿Qué probabilidades tiene el indio de salir ileso?

Hasta aquí la versión habitual del problema; pero nada nos impide complicarlo un poco más:

¿Qué probabilidad hay de que el indio sea alcanzado por una sola bala? ¿Y por dos? ¿Y por tres?

Supongamos que cae alcanzado por algún disparo (no sabemos si uno o varios) y el tercer vaquero, que además de mal tirador es un fanfarrón, exclama: “¡Le he dado!”. ¿Qué probabilidades hay de que esté en lo cierto?

¿Qué probabilidad tiene el indio de salir ileso si los vaqueros, en vez de disparar una sola vez, vacían el cargador de su revólver?

Matemagia con cartas

Los trucos con cartas son innumerables, y aunque la mayoría de ellos se basan en la habilidad de quien las maneja, hay algunos de base estrictamente matemática. He aquí uno de los más conocidos:

El matemago toma 21 cartas cualesquiera de una baraja y se las entrega a un espectador para que las baraje y elija mentalmente una de ellas. Luego las va colocando una a una sobre la mesa, boca arriba, en tres montones iguales, y le pide al espectador que le diga en qué montón está la carta elegida. Recoge los tres montones, colocando en medio el de la carta pensada, y repite la operación dos veces más, tras lo cual identifica la carta en cuestión.

Invito a mis sagaces lectoras/es a repetir el truco y a descubrir su fundamento matemático.

Carlo Frabetti es escritor y matemático, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado más de 50 obras de divulgación científica para adultos, niños y jóvenes, entre ellos ‘Maldita física’, ‘Malditas matemáticas’ o ‘El gran juego’. Fue guionista de ‘La bola de cristal’.

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