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Dándole vueltas al infinito

La Paradoja de Banach-Tarski dice que es posible duplicar naranjas mediante giros

Stefan Banach (izquierda) y Alfred Tarski (derecha).
Stefan Banach (izquierda) y Alfred Tarski (derecha).

Las matemáticas están llenas de sorpresas. Uno de los resultados más increíbles se conoce como la paradoja de Banach-Tarski. Dice que una naranja se puede descomponer en un número finito de piezas, de manera que girándolas en el espacio y volviéndolas a unir se obtienen dos naranjas idénticas a la naranja de partida. Es comprensible que esta afirmación, aun siendo cierta (e inútil para nuestros agricultores) se asocie con la palabra paradoja. Por ejemplo, parece contradecir los métodos basados en la geometría griega donde, para calcular el área de una figura plana, se descompone en varias piezas que se giran y trasladan y, finalmente, se vuelven a unir. De esta forma, se llega a una figura más simple (un rectángulo, por ejemplo) cuya área sí es conocida. En nuestro caso, este método (cortar la naranja, girar las piezas y volverlas a unir) no se puede aplicar para calcular el volumen de la naranja, ya que llegaríamos a la contradicción 2=1. Por otra parte, y aunque también parezca algo extraño, que un conjunto infinito (y nuestras naranjas matemáticas están compuestas por infinitos puntos) contenga dos copias de sí mismo es algo razonable. Por ejemplo, hay tantos números pares o impares como números enteros. Lo realmente excepcional de la paradoja de Banach-Tarski es que las dos copias se consiguen solo mediante giros, sin comprimir ni dilatar la naranja de partida.

Para entender cómo se llega a un resultado tan opuesto a la intuición hay que remontarse al principio del siglo pasado. La investigación del matemático francés Henri Lebesgue, uno de los más influyentes de su época, le llevó a analizar lo que significa medir conjuntos de números reales en la recta. Medir consiste en especificar una función que asigne a cada conjunto de la recta un número no negativo, generalizando la noción de longitud. Esta medida de Lebesgue cumple varias propiedades intuitivas, entre las que destacan que:

  • El segmento que une el 0 y el 1 mide uno;
  • La medida de un conjunto no cambia si lo trasladamos; y
  • La medida de cualquier unión posiblemente infinita de conjuntos disjuntos es la suma de las medidas de cada conjunto.

Una vez formalizada esta nueva noción de medir conjuntos en la recta, el matemático italiano Guiseppe Vitali construyó un conjunto de números reales que, sorprendentemente, no se puede medir con ninguna función que cumpla las reglas enumeradas anteriormente. La existencia de conjuntos no medibles en la recta incomodó a la comunidad matemática, que trató de encontrar una salida relajando las condiciones impuestas a la función de medida. Por ejemplo, en lugar de la tercera propiedad, se puede pedir, alternativamente, que

  • La medida de cualquier unión necesariamente finita de conjuntos disjuntos es la suma de las medidas de cada conjunto.

Guiseppe Vitali construyó un conjunto de números reales que no se puede medir

Los matemáticos polacos Stefan Banach y Alfred Tarski demostraron que con esta noción alternativa de medida (que también se puede generalizar al plano y al espacio) todos los subconjuntos de la recta y del plano son medibles. Sin embargo, en tres dimensiones la presencia de conjuntos no medibles es inevitable y las piezas giradas de la naranja mencionadas en la paradoja son ejemplos de ello. Es precisamente este hecho el que evita la contradicción 2=1 que aparecería si pudiéramos medir el volumen de las piezas. Una diferencia fundamental que se manifiesta en tres dimensiones es que los giros no son conmutativos. Es decir, el orden en que los aplicamos influye en el resultado final. A su vez, los giros en el espacio tienen un comportamiento paradójico similar al descrito al principio en el caso de las naranjas. De hecho, es ese comportamiento el que propicia, a través de su acción sobre la naranja, el aparente contrasentido. Uno de los científicos más geniales, John von Neumann, fue quien encontró, en 1929, la propiedad (llamada promediabilidad) que tienen las traslaciones en la recta y los giros en el plano que impide la existencia de descomposiciones paradójicas (como la de la naranja). Los giros en el espacio, en cambio, no son promediables.

Las descomposiciones paradójicas son un concepto transversal en matemáticas que ha seguido evolucionando y enriqueciendo otras áreas y continúan siendo un campo de investigación muy activo. Esta breve historia nos dice, además, que para llegar a resultados inesperados es fundamental conocer la investigación de los matemáticos que nos preceden. En nuestro caso, fue la necesidad de entender el significado de medir conjuntos de números reales lo que llevó, finalmente, a la paradoja de Banach-Tarski.

Fernando Lledó es profesor del Departamento de Matemáticas de la Universidad Carlos III de Madrid y miembro del ICMAT.

Diego Martínez es doctorando de la Universidad Carlos III de Madrid y del ICMAT, así como becario pre-doctoral del proyecto Severo Ochoa.

Café y Teoremas es una sección dedicada a las matemáticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los últimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matemáticas y otras expresiones sociales y culturales, y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar café en teoremas. El nombre evoca la definición del matemático húngaro Alfred Rényi: “Un matemático es una máquina que transforma café en teoremas”.

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