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‘Reductio ad absurdum’

Hablamos de un útil método de demostración matemática que, mal usado, nos puede llevar a caer en una falacia

En matemáticas, no nos vale con que algo parezca que es verdad o con que una propiedad concreta se cumpla para muchos casos: en matemáticas necesitamos demostraciones. Si queremos decir que algo es cierto, tenemos que demostrarlo, y eso, en muchísimas ocasiones, no es nada sencillo.

Entre los métodos de demostración que tenemos a nuestra disposición para intentar demostrar un resultado, posiblemente el más conocido sea el de demostración directa: partiendo de unas ciertas hipótesis, y dando pasos lógicamente válidos usando las mismas (o resultados ciertos conocidos previamente), buscamos la conclusión del resultado a demostrar. Hoy vamos a hablar sobre otro método de demostración, quizás menos conocido pero con una utilidad sobradamente comprobada: reducción al absurdo. Para finalizar, veremos un par de ejemplos de aplicación del mismo para mostrar su potencia y hablaremos de su (en ocasiones) mala utilización en comunicación.

Supongamos que queremos demostrar que un resultado es cierto, no importa si es alguna característica de un conjunto numérico, una propiedad geométrica de cierta construcción o cualquier otro enunciado matemático. Bien, pues el método de reducción al absurdo consiste en suponer que el resultado a demostrar es falso y llegar, a partir de ahí, a una contradicción. Es decir, si yo supongo cierto algo (en este caso, lo contrario a lo que quiero demostrar) y con ello llego a algo que es mentira (una contradicción, algo que sepamos de antemano que es falso…), entonces mi suposición es falsa y, en consecuencia, lo cierto es en realidad lo contrario a lo que supuse en un principio (que, en este caso, sería el resultado que queremos demostrar).

Aunque creo que el método habrá quedado claro con la explicación anterior, lo que igual no está tan claro es cómo aplicarlo. Y ahí es donde, bajo mi punto de vista, reside la principal dificultad a la hora de utilizarar este método de demostración: esto tan, en principio, extraño de suponer falso lo que queremos demostrar provoca, en ocasiones, que no sepamos muy bien cómo dirigir la demostración ni dónde y cuándo aparecerá la contradicción o de qué tipo será.

Pero, a pesar de esto, el método de reducción al absurdo es un método de demostración muy potente. Para verlo, y para aclarar las posibles dudas que pudiera haber hasta ahora, vamos a ver un par de ejemplos clásicos de aplicación de este método de demostración.

Fragmento de los pulsa en la foto
Fragmento de los "Elementos" de Euclides

El primero que vamos a ver está relacionado con los números primos, los ladrillos con los que podemos construir todos los números naturales mediante productos entre ellos. Bien, pues desde hace mucho tiempo se sabe (está demostrado) que existen infinitos números primos. Se conocen varias demostraciones sobre este hecho, pero la que vamos a ver hoy es la primera de la que se tiene constancia. Al parecer, fue Euclides el autor de la misma (aparece en la Proposición 20 del Libro IX de Elementos), y utiliza el método de reducción al absurdo. Vamos a ver una especie de traducción moderna de la misma.

Queremos demostrar que hay infinitos números primos. Lo que hacemos entonces es suponer que lo cierto es lo contrario: suponemos que la cantidad de números primos es finita. Digamos, por ejemplo, que hay n números primos, y que éstos son p1, p2, … , pn.

Consideremos ahora el siguiente número:

M=p1 · p2 · … · pn + 1

Es decir, M es el producto de todos los primos más 1. Sabemos que M no es primo (no es ninguno de los anteriores), por lo que es un número compuesto, y por tanto debe ser divisible por algún número primo. Ahora, si dividimos M entre p1, el resto de la división es 1, y lo mismo pasa si lo dividimos entre p2, entre p3 o entre cualquiera de los números primos de la supuesta lista finita.

Tenemos entonces un número M que no es primo y que no es divisible por ninguno de los primos de la lista. Esto significa que debe existir al menos un número primo que no está en dicha lista (M debe ser divisible al menos por un número primo), contradiciendo esto que los únicos números primos son los que aparecen en ella. Ésa es la contradicción a la que llegamos suponiendo que la lista de números primos es finita, lo que significa que la lista de números primos es infinita.

Veamos otro ejemplo clásico: la irracionalidad de raíz de 2 Supongamos entonces que √2 es un número racional, digamos a/b. Es decir:

√2=a/b

Podemos suponer, sin que ello influya en la demostración, que a y b no tienen factores comunes (ya que si los tienen los podemos simplificar y quedarnos con la fracción irreducible resultante). Elevamos ahora ambos miembros al cuadrado, obteniendo la siguiente expresión:

2=a2/b2

Si multiplicamos ahora por b2 a ambos lados, obtenemos lo siguiente:

2b2=a2

Esto nos asegura que a2 es un número par (es un múltiplo de 2), por lo que a es un número par, digamos a=2k. Sustituimos en la última expresión que hemos obtenido y operamos:

2b2=(2k)2=4k2

Dividiendo entre 2 en ambos miembros, obtenemos lo siguiente:

b2=2k2

Por el mismo razonamiento que usamos antes, tenemos entonces que b2 es un número par, lo que implica que b es un número par.

Hemos llegado a que tanto a como b son números pares, por lo que ambos tienen al número 2 como factor. Esto está en contradicción con la suposición anterior, que era que estos números no tenían factores comunes. Por tanto, el hecho de suponer que √2 es un número racional nos lleva a una contradicción. Esto significa, utilizando el método de reducción al absurdo, que √2 es un número irracional, y por tanto no es expresable mediante un cociente de números enteros.

Como veis, este método puede ser muy interesante para demostrar resultados cuando no tenemos muy claro cómo hacerlo mediante demostración directa, aunque es cierto que, en un principio, no sabemos dónde y cuándo aparecerá la contradicción.

Pero, como casi todo, la mala utilización de este método puede llevarnos a razonamientos erróneos que pueden provocar engaños. Y no hablo ahora de matemáticas, sino de comunicación verbal.

Hay personas que utilizan este argumento para su propio beneficio, cayendo en muchas ocasiones (sin querer o, mucho peor, a propósito) en la llamada falacia de la reducción al absurdo (o falacia de contradicción). Esta falacia consiste en asegurar que cierta forma de actuar llevaría a algo absurdo, impensable, injusto o contradictorio, por lo que es obligatorio que actuemos de forma contraria. El problema de este razonamiento es que, habitualmente, esa asociación entre una forma de actuar y una conclusión absurda se hace de manera interesada, basada solamente en opiniones y sin argumentos lógicos sólidos, pervirtiendo así la esencia del método de reducción al absurdo. Políticos, líderes de opinión, tertulianos y otros tipos de charlatanes suelen usar esta falacia para llevarse a la gente a su terreno. Así que mucho cuidado, analizad muy bien esta asociación para estar seguros de que no os quieren vender la moto con un argumento falaz.