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Desentrañando la turbulencia

Recientemente se ha probado un resultado sobre la turbulencia, la conjetura de Onsager, que permite precisar los modelos de fluidos

Imagen del huracán 'Sandy', que azotó la coste este de EE Uu en 2012.
Imagen del huracán 'Sandy', que azotó la coste este de EE Uu en 2012.

Llegar a comprender la naturaleza de los fenómenos turbulentos, desde sus primeros principios matemáticos, es un objetivo a la vez importante y ambicioso en el que todavía nos queda un largo camino por recorrer. La turbulencia está detrás de los tornados, los huracanes, las mangas marinas, y entenderla es clave para predecir la evolución de los frentes atmosféricos. Hace poco ha sido resuelto uno de los problemas concretos que era un baluarte a conquistar en ese camino; así lo señaló Lars Onsager (1903-1976), premio Nobel de Química, muy conocido también por sus trabajos mecano-estadísticos sobre las transiciones de fase en materiales ferromagnéticos, y autor de la conjetura que ahora se ha demostrado cierta. Según este resultado, bajo ciertas condiciones pueden encontrarse soluciones a las ecuaciones de los fluidos que no conservan la energía del sistema. Estas soluciones, que carecen de sentido físico, nos ayudan a entender y mejorar los modelos matemáticos de la turbulencia.

La conjetura de Onsager se formula sobre las soluciones de las ecuaciones de Euler que describen la evolución temporal del campo de velocidades de un fluido perfecto (incompresible, es decir, que no se puede comprimir, y sin fricción, invíscido), que fluye en el espacio tridimensional. Dichas ecuaciones expresan, en el lenguaje preciso del cálculo diferencial, las leyes de conservación de la masa y del momento cinético, implicando tanto a variaciones espaciales como temporales de la velocidad y de la presión, en unas relaciones (o ecuaciones) entre las derivadas parciales de esas magnitudes. Para completar el sistema, hay que incluir también los datos iniciales, es decir, saber cómo se encontraba el fluido en el momento preciso de comenzar la evolución que deseamos entender. Sorprende que un sistema que consta de tan solo cuatro ecuaciones sirva para modelar algo tan complejo como es un fluido, lo que incluye a los movimientos de la atmósfera y de los océanos. Pero también llama la atención que sean tan difíciles y elusivas, debido a su naturaleza no lineal y no local: la presión en un punto dado depende de todo el fluido, y no solamente de lo que le está cercano.

Cuando la velocidad y la presión, que son las incógnitas del sistema, resultan ser funciones suaves (diferenciables) sin picos ni discontinuidades, su significado físico está claro: marcan la evolución del movimiento de un fluido que observamos en la naturaleza. Ocurre, no obstante, que aunque exijamos que la situación del fluido en el momento inicial sea buena, es decir que la velocidad y la presión sean diferenciables, no podemos asegurar, ni mucho menos, que esa condición se mantenga en el futuro. Pero eso es consistente con nuestra experiencia cotidiana cuando hablamos, por ejemplo, del tiempo atmosférico: una bonita mañana soleada puede venir sucedida por una tarde de tormenta. Más allá de las soluciones suaves, en el siglo pasado se descubrieron las llamadas soluciones débiles o turbulentas, que son funciones no diferenciables (en muchos casos, ni siquiera continuas), que cumplen las ecuaciones del sistema en su versión integrada, que es otra manera de escribir esas mismas leyes de conservación.

El carácter invíscido del fluido, no disipativo, implica que una solución clásica conserva la energía cinética. En otras palabras, esa magnitud se mantiene constante en el tiempo. Ahí es donde surge la pregunta: ¿La conservarán también las soluciones turbulentas? Lars Onsager pensó profundamente sobre esta cuestión y vaticinó que la energía se conservará si la velocidad no presenta discontinuidades y su diferencia de valor en dos puntos del espacio, dividido por la raíz cúbica de la distancia que los separa, es una cantidad que tiende a cero cuando ambos puntos se aproximan. Pero señaló también que, en caso contrario, habrá soluciones de las ecuaciones de Euler que no conservan la energía. El exponente 1/3, raíz cúbica, determina pues la disyuntiva de conservar o, en general, no conservar la energía. La precisión del enunciado, dentro del elusivo mundo de la turbulencia, lo convirtió enseguida en un objetivo a conseguir.

La turbulencia está detrás de los tornados, los huracanes, las mangas marinas, y entenderla es clave para predecir la evolución de los frentes atmosféricos

La parte positiva de la conjetura pudo demostrarse con instrumentos “conocidos” del siglo pasado, y fue obtenida hace ya algún tiempo. Pero hubo que esperar a finales de 2016 para que Philip Isset, matemático del MIT, demostrara que cuando esa ley de la raíz cúbica es violada, pueden efectivamente construirse soluciones turbulentas que no conservan la energía. Estas soluciones contradicen leyes fundamentales de la física y por tanto muestran la necesidad, por ejemplo, de incluir más ecuaciones en el sistema para que este sea un buen modelo matemático de la naturaleza.

Casi tan interesante como el resultado en sí, lo son las técnicas introducidas para obtenerlo, y que hacen uso del concepto reciente de “integración convexa”. Son ideas novedosas en la mecánica de fluidos que tuvieron su origen en otras áreas de las matemáticas, y de la ingeniería de materiales compuestos (laminaciones), pero que están echando luz sobre la naturaleza de las soluciones turbulentas de las ecuaciones de Euler y las asociadas ecuaciones cuasigeostróficas, que tienen en el ICMAT un centro importante de actividad.

Antonio Córdoba es director del Instituto de Ciencias Matemáticas y Catedrático de Análisis de la Universidad Autónoma de Madrid. Más información: https://arxiv.org/abs/1608.08301

Café y Teoremas es una sección dedicada a las matemáticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los últimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matemáticas y otras expresiones sociales y culturales, y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar café en teoremas. El nombre evoca la definición del matemático húngaro Alfred Rényi: “Un matemático es una máquina que transforma café en teoremas”.